Assessing the VAR of the completion time for a complex industrial project of activities using Markov chain modelling and phase-type distributions

Nowadays, industrial environments are becoming progressively more complex and difficult to manage. With the emergence of new sources of variability, the task of planning project activities, which is essential for business operations, has become increasingly challenging. Traditional approaches to scheduling problems are usually case specific and tend to fail while coping with the intrinsic variability of the system. To consider these uncertainties, scheduling methods must incorporate techniques based on stochastic models, to provide a more realistic and comprehensive view of the potential outcomes and risks associated with a given schedule. This thesis aims to provide a comprehensive methodology for studying the activities of a generic project in presence of variability. In particular, the makespan value at risk (VAR) of the network under study will be investigated, modelling the processing times of the various activities with phase-type distributions. At first the procedure to calculate the state space network for a general project of activities is implemented. The following step introduces continuous-time Markov chain (CTMC) to model the execution of the project and phase-type approximation to model activities duration. The incorporation of phase-type distributions allows for the handling of generic continuous time probability distribution functions, to precisely capture variability in activity duration. Through Kronecker algebra, the behaviour of phase-type distribution is embedded inside the infinitesimal generator matrix, describing the CTMC. The proposed methodology enables the estimation of the distribution of project duration of the network, through the solution of an ordinary differential equations system. For this purpose, several analytical and heuristic approaches have been tested, to efficiently compute the exponential matrix. Employing this newly developed tool, a fast assessment of the network makespan VAR is provided. This enables planners for measuring risk and assessing robust methodology to face uncertainty.

I processi industriali stanno diventando progressivamente più complessi e difficili da gestire. Con l'emergere di nuove fonti di variabilità, il compito di pianificare le attività di un progetto, essenziale per le operazioni aziendali, è diventato sempre più impegnativo. Gli approcci tradizionali ai problemi di pianificazione e gestione delle attività, sono applicabili a casi specifici e non riescono a modellare la variabilità intrinseca del sistema. Per tenere conto di questi aspetti, i metodi di pianificazione, devono incorporare tecniche basate su modelli probabilistici, al fine di fornire una visione più realistica e completa degli esiti potenziali e dei rischi associati al progetto in analisi. Questa tesi si propone di fornire una metodologia completa per lo studio delle attività di un progetto generico in presenza di variabilità. In particolare, viene indagato il valore a rischio (VAR) del tempo di completamento della rete in analisi, modellando la durata delle varie attività con distribuzioni phase-type. Inizialmente viene implementata la procedura per calcolare il grafo che descrive le transizioni di stato per le attività di un generico progetto. Il passaggio seguente introduce le reti di Markov a tempo continuo (CTMC) per descrivere l’esecuzione del progetto e l'approssimazione con distribuzioni phase-type per modellare la durata delle singole attività. L'incorporazione di questa classe di distribuzioni consente di gestire funzioni di distribuzione di probabilità a tempo continuo generiche, per catturare con precisione la variabilità nella durata delle attività che compongono il progetto. Attraverso l'algebra di Kronecker, la dinamica e l’evoluzione del sistema vengono integrate all'interno della matrice che descrive la rete di Markov. La metodologia presentata consente la stima della distribuzione di probabilità della durata del progetto, attraverso la soluzione di un sistema ordinario di equazioni differenziali. A questo scopo, sono stati testati diversi approcci analitici ed euristici per calcolare in modo efficiente la matrice esponenziale. Utilizzando questo strumento di nuova concezione, viene fornita una rapida valutazione del VAR del tempo di completamento del progetto, offrendo quindi al pianificatore uno strumento di analisi efficiente, per affrontare la variabilità e valutare il rischio di un progetto.