Hedging under basis risk : mathematical aspects and new perspectives

Nowadays, one of the fundamental theories regarding hedging practices in the case of an incomplete market is the one developed by Föllmer and Schweizer with their decomposition. It is known that stochastic volatility models can be treated as an incomplete market case, as both volatility and stock are stochastic processes. In these cases, in effect, a derivative is written on an underlying that is not traded on the market, and at the same time on the stock, which is traded on the market and whose dynamic depends on that of volatility. Our work aims to apply the decomposition theory of Föllmer and Schweizer to one of these models, in particular that of Hull and White. For the construction of the decomposition we relied on a very generic theory built by Russo and Laachir, which is based on a BSDE (Backward Stochastic Differential Equation) approach, and this theory allowed us to get to a PDE whose solution (in particular a partial derivative of this solution) also provides the desired decomposition. The problem we faced in particular was proving the existence of the solution for this type of PDE and to do so we worked simultaneously on two different classes of solutions, commenting the pros and cons of each one of the two. We then expressed the solution as explicitly as possible with a Feynman-Kac approach, so that we could finally calculate the desired derivative. The first chapter presents a detailed mathematical framework, preceded by a brief explanation regarding market notation and assumptions. This chapter is then divided into three sections, the first describes what the decomposition of Föllmer and Schweizer and its financial applications are. After this the BSDE approach and its connection with the decomposition just mentioned are briefly explained. Finally there is an introduction to the Malliavin calculus that will be used at a later stage. Chapter Two deals with the application of the BSDE approach to the stochastic volatility model of Hull and White, following step by step the paper of Russo and Laachir, until arriving at the PDE whose analysis will then be the focus of the subsequent sections. Chapter Three focuses on demonstrating the existence of a solution for PDE, which is initially simplified so that it can be treated more easily. This chapter presents the parallelism between the classical solution and the good solution introduced in the paper. Chapter Four concerns the calculation of partial derivatives, once the solution has been expressed explicitly, and also contains the Stability Theorem which is an extension of a known result of the work of Gozzi and Russo which will be described in detail later. Finally, Chapter Five contains the explicit calculation of the amount of stock needed to compute the hedging with the initial model, and this is the actual result of the work.

Oggigiorno una tra le teorie fondamentali per quanto riguarda le pratiche di hedging nel caso di mercato incompleto è quella sviluppata da Föllmer e Schweizer con la loro decomposizione. È noto che i modelli di volatilità stocastica possano essere trattati come un caso di mercato incompleto, in quanto sia la volatilità sia lo stock sono processi stocastici. In questi casi, in effetti, un derivato è scritto su un sottostante non scambiato sul mercato che è la volatilità stessa, e contemporaneamente sullo stock, che invece è scambiato sul mercato e la cui dinamica dipende da quella della volatilità. Il nostro lavoro mira ad applicare la teoria della decomposizione di Föllmer e Schweizer a uno di questi modelli, in particolare quello di Hull e White. Per la costruzione della decomposizione ci siamo appoggiati ad una teoria molto generica costruita da Russo e Laachir, che si basa su un approccio di tipo BSDE (Backward Stochastic Differential Equation), e questa teoria ci ha permesso di arrivare ad una PDE la cui soluzione (in particolare una derivata parziale della soluzione) fornisce anche la decomposizione desiderata. Il problema che abbiamo dovuto affrontare in particolare è stato dimostrare l’esistenza della soluzione per questo tipo di PDE e per farlo abbiamo lavorato contemporaneamente su due classi di soluzioni diverse, elencando i pro e i contro di ciascuna delle due. Abbiamo quindi espresso la soluzione trovata nel modo più esplicito possibile con un approccio di tipo Feynman–Kac, in modo tale da poterne infine calcolare la derivata desiderata. Il primo capitolo presenta un dettagliato framework matematico, preceduto da una breve spiegazione riguardante la notazione e le assunzioni del mercato. Questo capitolo viene poi diviso in tre sezioni, la prima descrive cosa sia la decomposizione di Föllmer e Schweizer e le sue applicazioni finanziarie. Dopodichè viene spiegato brevemente l’approccio BSDE e il suo collegamento con la decomposizione appena citata. Infine è presente un’introduzione al calcolo di Malliavin che verrà utilizzato successivamente. Il capitolo Due riguarda l’applicazione dell’approccio BSDE a un modello di volatilità stocastica di Hull e White, seguendo passo dopo passo il paper di Russo e Laachir, fino a giungere alla PDE la cui analisi sarà poi il focus delle sezioni successive. Il capitolo Tre si focalizza invece sulla dimostrazione dell’esistenza di una soluzione per la PDE, che viene inizialmente semplificata in modo tale da poterla trattare più facilmente. In questo capitolo viene presentato il parallelismo tra la classical solution e la good solution introdotta nel paper. Il quarto capitolo riguarda il calcolo delle derivate, una volta espressa la soluzione in modo esplicito, e contiene anche il Teorema di Stabilità che è un’estensione di un risultato noto del lavoro di Gozzi e Russo che sarà descritto in dettaglio successivamente. Infine il capitolo Cinque contiene il calcolo esplicito della quantità di stock necessaria per eseguire l’hedging del modello iniziale, che costituisce il risultato effettivo del lavoro.