Efficient approximation of PDEs defined on domains with variable shape through POD-enhanced deep learning-based ROMs

The goal of this work is the investigation of recent strategies for the construction of reduced order models (ROMs) based on deep learning (DL) algorithms in the case of parametrized PDEs defined on domains with varying shape. In particular, we aim at investigating the behavior of the POD-DL-ROM, a recently proposed ROM strategy which makes use of proper orthogonal decomposition (POD) and DL algorithms to group together the benefits of classical ROMs and DL-based ROMs, to a series of parametrized PDEs set over varying domains, a class of problems where the POD-DL-ROM has not been tested yet. Indeed, the efficiency of the technique has been mainly assessed, so far, on PDE problems involving physical parameters. We investigate two possible strategies: (i) the solution of a mesh motion problem or (ii) the employment of re-meshing techniques. In the former case, the dimension of the mesh does not change, so that there is no additional work required. In the latter case, we need to let the POD-DL-ROM to be able to work on different meshes, since the mesh dimensions can change between different parameters instances (i.e. different configurations of the domain). To this aim, we need to introduce an additional feature in order to reconstruct the POD matrix that is needed in a POD-DL-ROM. In this respect, we build a neural network, the PODNet, which given as input the mesh coordinates and one or more additional parameters to characterize each mesh, provides as output the POD basis matrix. We present numerical results where we solve simple or more complex parametrized PDEs problems: our goal is to assess the performance of POD-DL-ROMs in all these cases and to test if the PODNet is able to reproduce the POD matrix in a sufficiently accurate way for different mesh dimensions.

L’obiettivo di questo lavoro è l’indagine di strategie recenti per la costruzione di modelli di ordine ridotto (MOR) basati su algoritmi di deep learning (DL) nel caso di EDP parametrizzate definite su domini di forma variabile. In particolare, ci proponiamo di indagare il comportamento del POD-DL-ROM, una strategia MOR recentemente proposta che fa uso di decomposizione ortogonale propria (DOP) e algoritmi di DL per raggruppare insieme i vantaggi dei classici MOR e dei MOR basati su tecniche di DL, per una serie di EDP parametrizzate impostate su domini variabili, una classe di problemi in cui il POD-DL-ROM non è stato ancora testato. Difatti, l’efficienza della tecnica è stata valutata, finora, principalmente su problemi di EDP che coinvolgono parametri fisici. Indaghiamo due possibili strategie: (i) la soluzione di un problema di mesh motion o (ii) l’impiego di tecniche di re-meshing. Nel primo caso, la dimensione della mesh non cambia, quindi non è necessario alcun lavoro aggiuntivo. Nel secondo caso, dobbiamo fare in modo che il POD-DL-ROM sia in grado di lavorare su diverse mesh, poiché le dimensioni della mesh possono cambiare tra diverse istanze di parametri (cioè diverse configurazioni del dominio). A tal fine, è necessario introdurre una funzionalità aggiuntiva per ricostruire la matrice DOP necessaria in un POD-DL-ROM. A tal proposito, costruiamo una rete neurale, la PODNet, che, date in input le coordinate della mesh e uno o più parametri aggiuntivi per caratterizzare ciascuna mesh, fornisce in output la matrice di base della DOP. Presentiamo risultati numerici in cui risolviamo problemi di EDP parametrizzate semplici o più complesse: il nostro obiettivo è valutare le prestazioni dei POD-DL-ROM in tutti questi casi e verificare se la PODNet è in grado di riprodurre la matrice DOP in modo sufficientemente accurato per diverse dimensioni della mesh.