PDE-constrained optimization to mitigate water waves induced motion of floating structures

The solution we adopt is to add a $L^1$ weight to the cost functional that has the desired effect if properly tuned. The main drawback of this technique is that it changes the original linear-quadratic optimization problem into a non-linear non-differentiable one. For this reason, the solution is computed numerically by means of an iterative approach and particular ruses are adopted for handling the non-differentiable part. After the choice of suitable algorithms, the method is tested using a simplified model of floaters. The results demonstrates that it is possible to select the optimal control region and reduce its extension as desired by modifying the weights in the optimization statement. By reducing the possible floaters to a family of non-dimensional scenarios, we test the effectiveness of our algorithm on a set of dummy problems and we show that this control strategy can simultaneously reduce the oscillation of the floater and act on a limited region surrounding the floater. Finally, we numerically test the control strategy on the VolturnUS standard floating wind turbine as a reference of a real structure.

Il moto dei fluidi è governato dalle ben note equazioni di Navier-Stokes, che sono equazioni alle derivate parziali non lineari (EDP). Sebbene questo insieme di equazioni fornisca una struttura analitica assai versatile, la loro soluzione è molto difficile in generale perché richiede un'elevata potenza di calcolo. Fortunatamente, la dinamica delle onde oceaniche può essere descritta assumendo un flusso irrotazionale e la EDP si riduce a un'equazione di Laplace, che è un'EDP ellittica del secondo ordine. Una volta fornito di opportune condizioni al contorno, il problema risulta essere lineare rispetto allo stato e alla pressione agente sulla superficie libera. Una tale pressione è di solito la conseguenza del vento che, soffiando su vaste aree oceaniche, produce onde coerenti che possono propagarsi per lunghe distanze. L'idea principale di questo lavoro è quella di considerare il campo di pressione come un'azione di controllo che, mediante un'opportuna regolazione, può dirigere le onde dell'acqua e schermare la struttura galleggiante. In questo modo, il controllo è il termine sorgente di un problema al controno e si ottiene riformulando il problema di controllo come uno di ottimizzazione. In particolare, definiamo una funzione di costo che pondera lo sforzo di controllo e i sei gradi di movimento dell'oggetto galleggiante. A differenza del vento, nessun controllo artificiale può contare su superfici relativamente grandi, quindi il problema analitico dove essere fornito da alcuni strumenti che promuovano la cosiddetta sparsità del controllo. La soluzione che adottiamo è quella di aggiungere un peso $L^1$ al funzionale di costo che abbia l'effetto desiderato se opportunamente regolato. Lo svantaggio principale di questa tecnica è che cambia il problema originale di ottimizzazione lineare-quadratica in uno non lineare e non differenziabile. Per questo motivo la soluzione viene calcolata numericamente mediante un approccio iterativo e vengono adottati particolari accorgimenti per la gestione della parte non differenziabile. Dopo la scelta degli algoritmi adatti, il metodo viene testato utilizzando un modello semplificato di galleggiante. I risultati dimostrano che è possibile selezionare la regione di controllo ottimale e ridurne l'estensione come desiderato, modificando i pesi nella dichiarazione di ottimizzazione. Riducendo i possibili galleggianti a una famiglia che tiene conto di pochi parametri adimensionali, si è testata l'efficacia dell'algoritmo su un insieme di problemi esemplificativi e si è dimostrato che questa strategia di controllo può simultaneamente ridurre l'oscillazione del galleggiante e agire su una regione limitata che lo circonda. Infine, testiamo numericamente la strategia di controllo sul modello di galleggiante VolturnUS per una turbina eolica come riferimento per un struttura reale.