Solving large mixed-effects models in spatial regression with PDE regularization

It is proposed an iterative solver for large linear systems, and it is implemented in R library exttt{fdaPDE}. The equations originate from a functional minimization problem that is discretized with finite elements. In fact, in such context of mixed-effects models, each statistical unit increases the size of the system by $2 N_{ au}$, twice the number of the finite elements degrees of freedom. ewline To make computing a solution possible, at each iteration are solved $m$ linear systems of dimensions $left(2 N_{ au} ight)^2$, $m$ being the number of statistical unit, instead of one of dimensions $left(2m N_{ au} ight)^2$. A simulation study is carried out and the proposed method is finally applied to fMRI data in the cerebral cortex, allowing to largely increase the number of patients involved in the study, compared to existing ones.

In questo lavoro viene proposto un algoritmo iterativo per sistemi lineari di grandi dimensioni e viene implementato nella libreria di R exttt{fdaPDE}. Le equazioni originano da un problema di minimizzazione di un problema funzionale che viene discretizzato attraverso gli elementi finiti. Infatti, nel contesto di un modello a effetti misti, ogni unità statistica aumenta la dimensione del sistema di $2 N_{ au}$, due volte il numero di gradi di libertà degli elementi finiti. ewline Per rendere possibile il calcolo di una soluzione, ad ogni iterazione vengono risolti $m$ sistemi lineari di dimensioni $left(2 N_{ au} ight)^2$, con $m$ il numero di unità statistiche, al posto di uno di dimensioni $left(2m N_{ au} ight)^2$. ewline Vengono condotte delle simulazioni al calcolatore e il modello proposto viene infine ap- plicato a dati di risonanza magnetica funzionale nella corteccia cerebrale, permettendo di aumentare il numero di pazienti inclusi nello studio, rispetto agli studi esistenti.