Accuracy analysis of a Mixed Element Volume scheme

This thesis performs a deep accuracy analysis of a Mixed Element Volume (MEV) numerical scheme, namely the V4 scheme, by studying it on the 2D linear advection equation and comparing the results between structured and unstructured triangular meshes of different regularity. The scheme in fact achieves third order accuracy on this equation with cartesian Friedrichs-Keller triangular meshes, and second order accuracy on the 3D Euler equations with anisotropic adapted meshes: this work's main purpose is to explain why such an order is reached. The thesis is organized as follows: first, using a solver specifically implemented for this analysis, some simulations and a convergence study are done for different test cases in order to compare the structured Friedrichs-Keller meshes with unstructured Delaunay ones. A measure of the quality of meshes based on their structures is then introduced before considering more irregular unstructured meshes obtained by taking the ones used previously and perturbing them at different levels. These new meshes have then been tested in order to compare the accuracy, in particular with another convergence study. In the final part the thesis focuses on the analysis of the local truncation error, expressed for each node of the mesh as a Taylor expansion, by means of an algorithm that computes automatically the coefficients of the derivatives in the error terms. These coefficients are computed for all the family of meshes studied so far, in an attempt to explain the global errors computed through the local ones. Overall, this thesis shows the how the structure of a mesh impacts the accuracy of the scheme and therefore that it is necessary to use the correct meshes, that can be obtained with the anisotropic mesh adaptation technique, in order to maximize the ratio between accuracy and computational cost of a numerical scheme.

Questa tesi esegue un'analisi approfondita dell'accuratezza di uno schema numerico Mixed Element Volume (MEV), ovvero lo schema V4, studiandolo sull'equazione 2D di trasporto lineare e confrontando i risultati tra mesh triangolari strutturate e non strutturate di diversa regolarità. Lo schema raggiunge infatti un'accuratezza del terzo ordine su questa equazione con mesh triangolari cartesiane del tipo Friedrichs-Keller, e un'accuratezza del secondo ordine sulle equazioni di Eulero con mesh anisotrope adattate: lo scopo principale di questo lavoro è spiegare perché si raggiunge tale ordine. Per fare ciò, la tesi è organizzata come segue: in primo luogo, utilizzando un solver appositamente implementato per questa analisi, vengono effettuate alcune simulazioni e uno studio di convergenza per diversi casi di prova al fine di confrontare le mesh strutturate di Friedrichs-Keller con quelle non strutturate di Delaunay. Viene quindi introdotta una misura della qualità delle mesh basata sulla loro struttura, prima di considerare mesh non strutturate più irregolari, ottenute prendendo quelle usate in precedenza e perturbandole a diversi livelli. Queste nuove mesh sono state poi testate per confrontarne l'accuratezza, in particolare con un altro studio di convergenza. Nella parte finale la tesi si concentra sull'analisi dell'errore di troncamento locale, espresso per ogni nodo della mesh come espansione di Taylor, mediante un algoritmo che calcola automaticamente i coefficienti delle derivate nei termini di errore. Questi coefficienti sono calcolati per tutte le famiglie di mesh studiate finora, nel tentativo di spiegare gli errori globali calcolati attraverso quelli locali. Complessivamente, questa tesi mostra come la struttura delle mesh influisca sull'accuratezza dello schema e quindi come sia necessario utilizzare la mesh più adatta, che può essere ottenuta tramite la tecnica dell'adattazione anisotropa delle mesh, in modo da massimizzare il rapporto tra accuratezza e costo computazionale di uno schema numerico.