Stationary and rotating segregated states in competition-diffusion models.

Over the last years mathematical models have been widely used in biology, and notably in population dynamics. A central problem that has been carried out in several studies is the understanding of the interactions between biological species coexisting in the same habitat. In this thesis we focus on interaction of competitive type, analyzing in partic- ular the strong competition regime. In the first part, we take in analysis the stationary problem in which two species compete, proving some regularity results of the possible positive limiting solutions and showing the occurrence of the so called segregated states: as the competition parameter grows to infinity all the species survive, but have disjoint habitats. In the second part of this thesis, we study the time dependent problem with an arbitrary number of species, in particular, when the matrix of the interspecific com- petition coefficients is asymmetric, for instance, this is the case in the paper-rock-scissors competition model. We show that a possible positive solution of the evolutionary prob- lem is generated by a rotation of the stationary one with angular velocity equal to the transport coefficient of the time independent problem. Furthermore, we prove that there is a one to one correspondence between the asymmetry factor and the angular velocity of the solution in a neighbourhood of zero. We conjecture that this is true for arbitrary angular velocity, but this is still an open problem. In the last chapter, we perform some numerical simulations trying to provide a deeper understanding of what we have proved in the previous chapters, as well as corroborating our conjectures.

Nel corso degli ultimi anni, vari modelli matematici sono stati ampiamente applicati alla biologia, soprattutto nelle dinamiche di popolazioni. Un problema centrale che è stato affrontato in diversi studi è la comprensione delle interazioni tra specie biologiche che convivono nello stesso habitat. In questa tesi ci concentriamo sull’interazione di tipo competitivo, analizzando in particolare il regime di forte competizione. Nella prima par- te, esaminiamo il problema stazionario in cui due specie competono, dimostrando alcuni risultati di regolarità delle possibili soluzioni limite positive e mostrando la comparsa dei cosiddetti stati segregati: all’aumentare del parametro di competizione all’infinito, tutte le specie sopravvivono ma in habitat separati. Nella seconda parte di questa tesi, studiamo il problema tempo dipendente con un numero arbitrario di specie, in particolare, analiz- zando il caso in cui la matrice dei coefficienti di competizione interspecifica è asimmetrica, per esempio, questo è il caso del modello di competizione carta-forbici-sasso. Dimostriamo che una possibile soluzione positiva del problema evolutivo è generata da una rotazione di quella stazionaria con una velocità angolare uguale al coefficiente di trasporto del pro- blema tempo indipendente. Inoltre, dimostriamo che c’è una corrispondenza biunivoca tra il fattore di asimmetria e la velocità angolare della soluzione in una vicinanza dello zero. Supponiamo che ciò sia vero per qualsiasi velocità angolare, tuttavia questo rimane ancora un problema aperto. Nel capitolo finale, eseguiamo alcune simulazioni numeriche cercando di fornire una comprensione più profonda di ciò che abbiamo dimostrato nei capitoli precedenti, oltre a corroborare le nostre congetture.