Agglomeration of polytopal grids through geometrical deep learning

Agglomeration techniques are important both to reduce the computational complexity of numerical simulations and to construct multilevel algebraic solvers. In order to automatically perform agglomeration of polytopal grids, we propose a novel Geometrical Deep Learning-based approach that can exploit the geometrical and physical informations of the underlying computational domain to improve the agglomerated grid’s quality. In particular, we propose a bisection model based on Graph Neural Networks (GNNs) to partition the connectivity graph of computational two- and three-dimensional meshes. The developed model has high online inference speed and the ability to process simultaneously both the graph structure of the mesh and the geometrical (areas/volumes and centers’ coordinates of the elements) and physical (physical parameters of the elements) informations. Taking advantage of this approach, we also develop a model able to automatically perform agglomeration of a domain composed by heterogeneous media. This GNNs-based technique is compared with k-means algorithm, a Machine Learning algorithm that can deal only with the geometrical information, and METIS, a standard approach for graph partitioning that is meant to process only the graph information about the mesh. We demonstrate that the performance in terms of quality metrics and runtimes are enhanced for the proposed GNNs-based methods. Such models also show a good degree of generalization when applied to more complex geometries, such as 2D brain’s section or 3D ventricles reconstructed from MRI scan. The effectiveness of these strategies is demonstrated also when applied to Multi-Grid (MG) solvers in a Polygonal Discontinuous Galerkin (PolyDG) framework. In the considered approach, GNNs show overall the best performance in terms of inference speed, accuracy and flexibility of the approach. The capabilities of the model in performing agglomeration of heterogeneous domains are also tested in the framework of problems containing micro-structures.

Le tecniche di agglomerazione sono importanti sia per ridurre la complessità computazionale delle simulazioni numeriche sia per costruire solutori algebrici multilivello. Per eseguire automaticamente l’agglomerazione di griglie politopiche, proponiamo un approccio innovativo basato su tecniche geometriche di Deep Learning che sono in grado di sfruttare le informazioni geometriche e fisiche del dominio computazionale sottostante per migliorare la qualità della griglia agglomerata. In particolare, per partizionare il grafo di connettività di una griglia bi- e tri-dimensionale proponiamo un modello di bisezione basato sulle Graph Neural Networks (GNN). Il modello sviluppato è molto veloce nella fase di inferenza ed ha la capacità di processare contemporaneamente sia la struttura del grafo della mesh sia le informazioni geometriche (aree/volumi e coordinate dei centri degli elementi) e fisiche (parametri fisici degli elementi). Sfruttando questo approccio, sviluppiamo anche un modello capace di eseguire automaticamente l’agglomerazione di un dominio composto da mezzi eterogenei. Questa tecnica basata sulle GNN viene confrontata con l’algoritmo k-means, un algoritmo di Machine Learning in grado di elaborare solo le informazioni geometriche, e METIS, un approccio standard per la partizione di grafi che può processare solo le informazioni del grafo della mesh. Mostriamo che le performance in termini di metriche di qualità e runtime sono migliori per i metodi proposti basati sulle GNN. Questi metodi presentano anche una buona capacità di generalizzazione quando sono applicati a geometrie più complesse, come ad esempio la sezione 2D del cervello o i ventricoli 3D ricostruiti da un’immagine a risonanza magnetica. L’efficacia di questi metodi è dimostrata, inoltre, quando vengono applicati ai metodi multigriglia. Negli approcci considerati, le GNN hanno mostrato le migliori performance in termini di velocità di inferenza, accuratezza e flessibilità. Le capacità del modello nell’agglomerazione di domini eterogenei sono testate nel contesto di problemi contenenti micro-strutture.