Stabilized and self-stabilized virtual elements based on the Hu-Washizu variational principle for 3D linear elastostatics

This Master thesis presents the Virtual Element Method (VEM) for 3D linear elastostatics, developed from a mixed variational formulation based on the three-field Hu-Washizu functional. A general mixed finite element scheme typically used to construct diverse solvers is firstly presented. Then, VEM are introduced within the mathematical formalism, and a numerical implementation following the general formulation discussed before is thoroughly explained and tested for the first two order of approximation k=1, 2. Subsequently, improvements of standard VEM are sought to address two major drawbacks: (1) the projection over the faces of each element of the virtual shape functions onto the space of polynomials and (2) the need of stabilization for the local stiffness matrix which exhibits a surplus of rank deficiency. Therefore, polyhedral elements with only triangular faces are introduced ("deltahedra", hence deltaVEM) and an enhanced formulation of k=1 VEM is proposed by carefully enhancing the strain field. It is shown how a local linear strain model is not sufficient to achieve self-stabilization while three non-complete quadratic polynomial strain fields are proposed and successfully tested for 8-nodes 24-DOFs self-stabilizing virtual elements.

Questo lavoro di tesi di laurea Magistrale presenta il Metodo agli Elementi Virtuali (VEM) per l'elastostaticità lineare in tre dimensioni, sviluppato a partire da una formulazione variazionale mista basata sul funzionale a tre campi di Hu-Washizu. In un primo momento viene presentato uno schema agli elementi finiti misti molto generale che può essere adottato per costruire diversi risolutori numerici. Successivamente, il VEM viene inquadrato nel contesto matematico e una sua implementazione numerica derivante dalla formulazione descritta in precedenza viene spiegata in dettaglio e sperimentata per i primi due ordini di approssimazione k=1, 2. Nella seconda parte del lavoro si cercano dei miglioramenti del VEM per sopperire a due principali svantaggi: (1) la proiezione sulle facce di ogni elemento delle funzioni di forma virtuali sullo spazio dei polinomi e (2) la necessità di stabilizzare la matrice di rigidezza locale. Si introducono quindi poliedri le cui facce sono triangoli ("deltaedri", da cui deltaVEM) e una formulazione "enhanced" del VEM di ordine k=1 tramite un attento arricchimento del campo di deformazione. Viene mostrato come un modello lineare di deformazione locale non sia sufficiente a ottenere autostabilizzazione, mentre tre diversi campi di deformazione polinomiali quadratici, non completi, sono proposti e verificati con successo per un elemento virtuale autostabilizzato a 8 nodi e 24 gradi di libertà.