Physics-informed neural networks for inverse problems involving parametric partial differential equations

Inverse problems consist in estimating unknown parameters or fields of a physical model from observable data. Such problems are well-known to be mathematically and numerically challenging. Indeed, their solution might feature limited identifiability, and approximation algorithms usually require several evaluations of Partial Differential Equation (PDE) solvers, puzzling the overall efficiency. Physics-informed neural networks (PINNs) are artificial neural networks that incorporate model equations into their architecture; they are trained by minimizing the residual of PDEs in strong form, which is computed exploiting automatic differentiation. PINNs configure as valid tools to address inverse problems. Their effectiveness has been demonstrated in a wide range of test cases, so that they garnered significant attention in the field of computational physics. In fact, such models allow to simultaneously approximate the PDE solution and reconstruct the underlying parameter values, leveraging the computational efficiency provided by deep learning (DL) libraries. The aim of this Thesis is to investigate PINN-based solution strategies for the Calderon problem. The latter is a benchmark inverse problem stemming from Electrical Impedance Tomography (EIT), which involves the reconstruction of the conductivity field from the knowledge of voltage and electric current at the boundary. We start from the state-of-the-art PINN and express the unknown field as a combination of modes with unknown coefficients. Measurement data can be used to train the proposed model while permitting investigation of unknown parameters. As an alternative, we implement an asynchronous optimization pipeline to compute solutions and identify parameters. First, a parametric and physics-informed surrogate model of the forward problem is generated to efficiently predict a solution for varying conductivity fields. Then, we exploit the efficient solution parametrization to solve the inverse problem, suitably exploring the parameter space. Finally, we compare the two proposed approaches, discussing their advantages and disadvantages based on the model architecture and on the available data.

I problemi inversi consistono nella stima di parametri o campi sconosciuti di un modello fisico da dati osservabili. Tali problemi sono noti per essere matematicamente e numericamente impegnativi. Infatti, la loro soluzione può avere un’identificabilità limitata, e gli algoritmi di approssimazione richiedono svariate valutazioni dei solutori di equazioni a derivate parziali (PDE), riducendo l’efficienza complessiva. Le reti neurali fisicamente informate (PINN) sono reti neurali artificiali che incorporano equazioni di modello nella loro architettura; sono addestrate minimizzando il residuo di PDE, calcolato sfruttando la differenziazione automatica. Le PINN si configurano come validi strumenti per risolvere problemi inversi. La loro efficacia è stata dimostrata in un’ampia gamma di casi, acquisendo notevole attenzione nella fisica computazionale. Tali modelli consentono simultaneamente di approssimare la soluzione della PDE e ricostruire i valori dei parametri sottostanti, sfruttando l’efficienza computazionale delle librerie di deep learning (DL). Lo scopo di questa tesi è di indagare strategie basate sulle PINN per il problema di Calderon. Quest’ultimo è un problema inverso derivante dalla tomografia a impedenza elettrica (EIT), che comporta la ricostruzione della conduttività tramite la conoscenza della tensione e della corrente elettrica al bordo. Partiamo da una state-of-the-art PINN ed esprimiamo il campo come una combinazione di mode con coefficienti sconosciuti. Delle misurazioni possono essere utilizzate per addestrare il modello proposto consentendo allo stesso tempo l’indagine dei parametri incogniti. In alternativa, proponiamo una pipeline di ottimizzazione asincronica per calcolare soluzioni e identificare i parametri. In primo luogo, generiamo un modello surrogato parametrico fisicamente informato del problema diretto per prevedere in modo rapido una soluzione per diversi campi di conduttività. Quindi sfruttiamo la parametrizzazione delle soluzioni per risolvere il problema inverso, esplorando lo spazio dei parametri. Infine, confrontiamo i due approcci proposti, discutendo pro e contro in base dell’architettura del modello e dei dati disponibili.