Polytopal discontinuous Galerkin methods for wave propagation phenomena in thermo-poroelastic media

In this thesis we address the problem of developing and analyzing efficient numerical models and methods for describing wave propagation phenomena in thermo-poroelastic (TPE) media. In particular, we focus on applications to geophysics and seismology. To this aim, we employ discontinuous Galerkin methods on polytopal grids. With the use of this method, we can handle meshes made of arbitrarily shaped elements, with faces (edges) that may be in arbitrary number and whose measure may be arbitrarily small compared to corresponding element's diamater. Moreover, the use of discontinuous Galerkin methods guarantees robustness with respect to heterogeneous media and allows for high-order accuracy. All these features make our approach suitable for facing the challenges featured by most of the applications in the computational geoscience field. To study this problem, it is of particular interest to investigate the thermo -- hydro -- mechanical (THM) coupling that refers to the coupled interactions between temperature, fluid flow, and mechanical deformations. It is common in the literature to study the subsurface by looking at the coupling between the fluid problem and the mechanics. However, the additional coupling with thermal phenomena in this case is of crucial importance, as in the applications of interest (e.g. geothermal energy production, greenhouse gas sequestration, and - in general - seismic effects caused by soil exploitation activities) we can have strong temperature gradients. In the first part of the thesis, we focus on the quasi-static thermo-poroelastic problem and we start by studying two of the main challenges that the TPE problem presents: finding effective solution strategies for a fully-coupled non-linear problem and developing a mathematical formulation and numerical scheme that ensure robustness with respect to the model's parameters. In the second part of the thesis, we address the fully-dynamic problem for effectively describing the wave propagation phenomena. In this second part, we exploit the knowledge acquired in the first part and the main problem we address is to understand if and how the thermal effects play a role in the behavior of waves in the subsoil, especially of the shear waves. To this aim, a direct comparison with the poroelastic problem is presented. For all the considered problems we propose suitable formulations for the mathematical models motivated by the fields of application. Next, we propose discontinuous Galerkin approximations deriving a priori $hp$-version stability and error estimates in a suitable energy norm. All the theoretical results are validated by performing numerical tests with manufactured analytical solutions. A complete set of numerical simulations is presented for inspecting numerically the method's capabilities (e.g. robustness with respect to the model's parameters and heterogeneous media) and for testing the capabilities of the methods in practical scenarios. In the last part of the thesis, we consider different methods for tackling the geometrical complexity and media challenges for geophysical simulations. To this aim, we briefly explore and present some preliminary results about the coupling of discontinuous Galerkin methods with the CutFEM method.

In questa tesi viene affrontato il problema dello sviluppo di modelli e metodi numerici per descrivere fenomeni di propagazione di onde in mezzi termo-poroelastici (TPE). In particolare, viene posta l'attenzione su applicazioni in ambiti di geofisica e sismologia. A questo scopo, vengono utilizzati metodi Galerkin non conformi su griglie poliotopiche. Con l'uso di questi metodi, è possibile gestire tassellazioni composte da elementi di forma arbitraria, con facce (lati) che possono essere in numero qualsiasi e la cui misura può essere arbitrariamente piccola rispetto al diametro dell'elemento corrispondente. Inoltre, l'uso dei metodi Galerkin non conformi garantisce robustezza rispetto all'eterogeneità dei materiali e consente di ottenere un alto ordine di accuratezza. Tutte queste caratteristiche rendono il nostro approccio adatto ad affrontare le sfide che caratterizzano la maggior parte delle applicazioni nel campo delle scienze geologiche computazionali. Per studiare questo problema, è di particolare interesse investigare l'accoppiamento termo-idro-meccanico (TIM) che si riferisce alle interazioni accoppiate tra temperatura, flusso di fluido e deformazioni meccaniche. È comune nella letteratura studiare il sottosuolo esaminando l'accoppiamento tra il problema fluido e la meccanica. Tuttavia, l'accoppiamento aggiuntivo con fenomeni termici in questo caso è di cruciale importanza, poiché nelle applicazioni di interesse (ad esempio, produzione di energia geotermica, stoccaggio di gas serra e - in generale - effetti sismici causati dalle attività di sfruttamento del suolo) si possono osservare forti gradienti di temperatura. Nella prima parte della tesi, viene studiato il problema termo-poroelastico quasi-statico. L'analisi di questo, permette di studiare due delle principali sfide presentate dal problema TPE: trovare strategie di soluzione efficaci per un problema non lineare completamente accoppiato e sviluppare modelli matematici e metodi numerici che garantiscano robustezza rispetto ai parametri del modello. Nella seconda parte della tesi passiamo al problema dinamico, con lo scopo di descrivere efficacemente i fenomeni di propagazione delle onde. In questa seconda parte, si sfruttano le conoscenze acquisite nello studio del problema quasi-statico e il principale obiettivo è capire se e come gli effetti termici influenzino il comportamento delle onde nel sottosuolo, in particolare delle onde di taglio. A questo scopo, viene presentato un confronto diretto con il modello poroelastico. Per tutti i problemi considerati vengono presentati modelli matematici adatti ai campi di applicazione. Inoltre, viene proposto uno schema di approssimazione numerica di tipo Galerkin non conforme, presentando stime a priori di stabilità ed errore in norme energia appropriate. Tutti i risultati teorici sono validati mediante test numerici con soluzioni analitiche scelte ad hoc. È presentato un vasto insieme di simulazioni numeriche per investigare le proprietà del metodo (ad esempio, robustezza rispetto ai parametri del modello e rispetto all'eterogeneità del dominio) e per testare l'applicabilità dei modelli e dei metodi proposti in scenari di interesse pratico. Nell'ultima parte della tesi, viene proposto un metodo alternativo per la gestione della complessità geometrica e delle sfide legate alle proprietà del dominio per le simulazioni geofisiche. A questo scopo, esploriamo brevemente l'accoppiamento dei metodi Galerkin non conformi con il metodo CutFEM e presentiamo alcuni risultati preliminari.