On some nonlinear parabolic and elliptic problems

This thesis is concerned with two problems in nonlinear analysis. The first part concerns the Cauchy problem for the weighted nonlinear diffusion equation $\rho\,u_t=\Delta u^m$ of porous medium type $(m>1)$ in the whole space. The weight we consider behaves like $|x|^{-\gamma}$ for $\gamma\in(0,2)$ and represents a change in density of the medium in which the diffusion takes place. One major goal of the thesis is to find an optimal class of growing initial data for which well-posedness of the problem is guaranteed. To this aim, we construct solutions of the problem given an initial datum in a certain space of growing functions. Along the way, we prove some estimates on these constructed solutions, including smoothing effects and stability estimates in various norms. We exhibit some special solutions that blow up in finite time and then show that these functions are in some sense representative of general solutions with critically growing initial data. We also prove uniqueness for sign-changing solutions under an additional pointwise bound on the initial datum. Next, we show that positive solutions have a unique Radon measure initial trace which grows at a prescribed rate. Using this result in conjunction with some carefully derived local \emph{a priori} estimates, we are able to also prove uniqueness for general positive solutions. Having settled the question of optimal well-posedness, we are in position to study long-time asymptotics of non-integrable solutions. We find some new special solutions and prove that they are global $L^p$-attractors of solutions with non-integrable power growth. The second part of the thesis concerns a different nonlinear equation: the elliptic Lane-Emden equation $-\Delta u=u^p$ for $p>1$ in half-spaces and cones with homogeneous boundary conditions. The goal is to prove Liouville-type theorems ($u\equiv0$) for \emph{stable} solutions. We are able to improve the previous results by proving $u\equiv0$ for stable solutions in the half-space for all $p>1$.

Questa tesi si occupa di due problemi di analisi non lineare. La prima parte riguarda il problema di Cauchy per l'equazione di diffusione non lineare pesata $\rho\,u_t=\Delta u^m$, di tipo mezzi porosi $(m>1)$, nell'intero spazio. Il peso che consideriamo si comporta come $|x|^{-\gamma}$ per $\gamma\in(0,2)$ e rappresenta la variazione di densità del mezzo in cui avviene la diffusione. Uno degli obiettivi principali della tesi è quello di trovare una classe ottimale di dati iniziali per i quali sia garantita la buona posizione del problema. A tale scopo, costruiamo soluzioni del problema aventi un dato iniziale in un opportuno spazio di funzioni che possono crescere all'infinito. Ciò si ottiene dimostrando in primo alcune stime su queste soluzioni costruite, inclusi effetti regolarizzanti dell'evoluzione e stime di stabilità in varie norme. Costruiamo inoltre alcune soluzioni speciali che esplodono in tempo finito e successivamente dimostriamo che queste funzioni sono in un certo senso rappresentative delle soluzioni generali con dati iniziali con crescita critica. Dimostriamo inoltre l'unicità delle soluzioni che cambiano segno sotto un ulteriore condizione puntuale sul dato iniziale. Dimostriamo poi che le soluzioni positive hanno un'unica traccia iniziale nel senso delle misure di Radon, che cresce a un tasso prescritto. Utilizzando questo risultato in combinazione con alcune delicate stime locali a priori, siamo in grado di dimostrare anche l'unicità per soluzioni positive generali. Avendo risolto la questione della buona posizione del problema in una classe ottimale, siamo in grado di studiare il comportamento asintotico per tempi grandi di soluzioni non integrabili. Costruiamo in particolare alcune nuove soluzioni speciali e dimostriamo che si tratta di soluzioni globali che sono attrattori globali, in senso $L^p$, di soluzioni con crescita di tipo non integrabile. La seconda parte della tesi riguarda un'altra equazione non lineare: l'equazione ellittica di Lane-Emden $-\Delta u=u^p$ per $p>1$ in semispazi e coni con condizioni al contorno omogenee. L'obiettivo è dimostrare teoremi di tipo Liouville ($u\equiv0$) per le soluzioni stabili. Siamo in grado di migliorare i risultati precedenti dimostrando $u\equiv0$ per soluzioni stabili nel semispazio per tutti i $p>1$.