Modeling neurodegenerative disorders: a discontinuous Galerkin approach for the heterodimer model of prions dynamics

Neurocognitive disorders have a wide social impact. Some of them can be classified as proteinopathies, namely disorders characterised by the accumulation of misfolded proteins that undergo autocatalytic conversion and result in neurotoxic aggregates. Alzheimer’s and Parkinson’s diseases are relevant examples of protheinopathies. Thus, mathematical and computational models describing the prion-like dynamics offer an analytical basis to study the diseases’ evolution and a computational framework for exploring potential therapies. This work focuses on the well-established heterodimer model, a reactive-diffusive system of (non-linear) partial differential equations describing the evolution of both native and misfolded proteins. We investigate travelling wave solutions and diffusion-driven instabilities as a mechanism of neurotoxic pattern formation. For the considered mathematical model, we propose a space discretisation, relying on the Discontinuous Galerkin method on polytopal/polyhedral grids, allowing flexible handling of the complicated brain’s geometry. Further, we present a priori error estimates for the semi-discrete formulation and we perform convergence tests to verify the theoretical results. Finally, we conduct simulations using realistic data on a three-dimensional brain mesh reconstructed from medical images.

I disturbi neurocognitivi hanno un ampio impatto sociale, alcuni dei quali possono essere classificati come proteinopatie. Questi disturbi sono caratterizzati dall’accumulo di proteine mal ripiegate, le quali subiscono una conversione autocatalitica, dando origine ad aggregati neurotossici. Le malattie di Alzheimer e di Parkinson sono esempi significativi di tali disturbi. Modelli matematici e computazionali che descrivono la dinamica dei prioni possono fornire una base analitica per lo studio dell’evoluzione di queste malattie e offrire un quadro computazionale per esplorare potenziali terapie. In questo lavoro, ci concentriamo sul modello eterodimero, un modello reattivo-diffusivo ben consolidato. Esso è costituito da un sistema di equazioni differenziali parziali non lineari, che descrivono l’evoluzione delle proteine sane e di quelle mal ripiegate. Cerchiamo soluzioni ad onde viaggianti e studiamo le instabilità causate dalla diffusione come meccanismo di formazione di aggregati neurotossici. Per il modello matematico considerato, proponiamo una discretizzazione spaziale basata sul metodo di Galerkin discontinuo su griglie poligonali/ poliedriche, che consente una gestione flessibile della geometria convoluta del cervello. Presentiamo le stime dell’errore a priori per la formulazione semidiscreta ed eseguiamo test di convergenza per verificare i risultati teorici. Infine, effettuiamo simulazioni con dati realistici su una mesh cerebrale tridimensionale ricostruita da immagini mediche.