Population Dynamics and Resource Optimization in Heterogeneous Environments: A Theoretical Approach

This thesis analyses the long-term dynamics of a population within a bounded, heterogeneous environment, employing reaction-diffusion equations. It examines how spatial heterogeneity, inherently encoded within species' growth rates, delineates favourable or unfavourable regions to population sustenance. The study investigates the concepts of principal eigenvalue and diffusion threshold, both fundamental in predicting the population's risk of extinction, and underscores the need to maximize the critical diffusion coefficient to enhance survival prospects. The examination leads to articulate a weight eigenvalue problem and to the minimization of the associated positive principal eigenvalue within a class of admissible weight functions. Utilizing the bathtub principle, the effectiveness of bang-bang weight functions in optimization is highlighted. The survival study ultimately transitions to a shape optimization problem, evaluating the sensitivity of the principal eigenvalue to varying spatial arrangements and boundary conditions, aiming to define optimal resource distributions for ensuring persistence. The dissertation concludes by offering an alternative proof for shape optimization within one-dimensional frameworks under Dirichlet and Neumann boundary conditions.

Questa tesi esamina la dinamica a lungo termine di una popolazione in un ambiente limitato ed eterogeneo, utilizzando equazioni di reazione-diffusione. L’eterogeneità spaziale è intrinsecamente codificata nei tassi di crescita della specie, rispetto cui vengono a definirsi aree favorevoli o sfavorevoli al mantenimento della stessa. Si analizzano i concetti di autovalore principale e soglia critica di diffusione - fondamentali nella previsione del rischio di estinzione della popolazione - sottolineando la necessità di massimizzare il coefficiente critico di diffusione per ottimizzare la sopravvivenza. L’analisi induce la formulazione di un problema agli autovalori pesati e alla minimizzazione del corrispettivo autovalore principale positivo entro una classe di funzioni peso ammissibili. Attraverso il principio del bathtub, si evidenzia l’efficacia delle funzioni peso bang-bang nell’ottimizzazione. Lo studio di sopravvivenza si riduce ad un problema di ottimizzazione di forma della regione favorevole. Viene discussa la sensibilità dell’autovalore principale rispetto alle configurazioni spaziali e alle condizioni imposte al bordo del dominio per identificare la disposizione ideale delle risorse ai fini della sopravvivenza. Infine, si propone una dimostrazione alternativa per l’ottimizzazione di forma in contesti unidimensionali per condizioni al contorno di Dirichlet e di Neumann.