SPDEs with dynamical boundary conditions driven by Lévy Noise

In the present work, we deal with stochastic models on a network aimed to describe the activity of neurons communicating with each other through the diffusion of electrical potential. The study of such models is very relevant from a neurophysiological point of view since it can shed light on the complex mechanism that drives the activity of neurons. The model we propose in this thesis draws its roots from many models on networks that can be found in the literature but it is in and of itself an original model. The main idea behind our model is to treat each neuron as a node in a network and the axons connecting two neurons as an edge linking two nodes. On the edge, the evolution of the electrical potential is studied by imposing a reaction-diffusion equation, while on the nodes it is imposed a dynamical boundary condition, namely we equip the neurons with an independent dynamic over time that is associated with the one on the edge through a continuity condition. To this deterministic model, a stochastic perturbation is then added in the form of an infinite-dimensional Wiener process on the edge and a Lévy process with jumps on the nodes. Indeed, as highlighted by many papers by Kallianpur and Walsh, when studying the activity of a possibly large part of the brain, one must consider every external and random disturbance of impulsive nature that can arise during the evolution of the system. The thesis is divided into two parts: the first three chapters introduce Lévy processes, evolution equations in Banach spaces, and stochastic equations in infinite dimensions. These tools are essential for the comprehension of our model and in said chapters are studied to some degree of precision. The second part of the thesis, namely Chapter 4, contains the main and original results of the thesis. We introduce the equations that constitute our model and prove the existence and uniqueness of a suitable type of solution.

In questo lavoro ci occupiamo di modelli stocastici su rete volti a descrivere l'attività di neuroni che comunicano tra loro attraverso la diffusione di potenziale elettrico. Lo studio di tali modelli è molto rilevante dal punto di vista neurofisiologico, poiché può far luce sul complesso meccanismo che determina l'attività dei neuroni. Il modello che proponiamo in questa tesi trae le sue radici da molti modelli su rete che si possono trovare in letteratura, ma è di per sé un modello originale. L'idea principale del nostro modello è quella di trattare ogni neurone come un nodo di una rete e gli assoni che collegano due neuroni come un lato che unisce due nodi. Sul lato, l'evoluzione del potenziale elettrico viene studiata imponendo un'equazione di reazione e diffusione, mentre sui nodi viene imposta una cosidetta condizione al bordo dinamica, ovvero dotiamo i neuroni di una dinamica indipendente nel tempo che viene associata a quella sul bordo attraverso una condizione di continuità. A questo modello deterministico si aggiunge poi una perturbazione stocastica sotto forma di un processo di Wiener infinito dimensionale sul lato e di un processo di Lévy con salti sui nodi. Infatti, come evidenziato da molti articoli di Kallianpur e Walsh, quando si studia l'attività di una parte possibilmente ampia del cervello, si deve considerare ogni perturbazione esterna e casuale di natura impulsiva che può sorgere durante l'evoluzione del sistema. La tesi è divisa in due parti: i primi tre capitoli introducono i processi di Lévy, le equazioni di evoluzione in spazi di Banach e le equazioni stocastiche in dimensione infinita. Questi strumenti sono essenziali per la comprensione del nostro modello e in questi capitoli vengono studiati con un certo rigore. La seconda parte della tesi, ovvero il Capitolo 4, contiene i risultati principali e originali della tesi. Introduciamo le equazioni che costituiscono il nostro modello e dimostriamo l'esistenza e l'unicità di una soluzione in un opportuno senso.