The virtual element method for the numerical solution of cell-by-cell models in electrophysiology

In the context of computational electrophysiology, the EMI (Extracellular-Membrane-Intracellular) model is used to study the electrical behaviour of excitable cells. Its primary advantage lies in its ability to capture local properties of the cell by explicitly representing the extracellular and intracellular spaces, and the cellular membrane. The model consists of a system of partial differential equations (PDE) defined in the intracellular and extracellular spaces, coupled with a system of ordinary differential equations (ODE) defined on the membrane. In this thesis, we introduce the Virtual Element Method (VEM) as a discretization technique for a simplified version of the EMI model. The key distinction from the classical Finite Element Method is that VEM enables the handling of complex meshes composed of general polytopal elements. Two different approaches are proposed for the numerical solution of the problem: the use of splitting schemes, which decouples the model into an ODE step and a PDE step that can be solved separately, and a monolithic approach that aims to discretize and solve the problem simultaneously. For each formulation, numerical experiments and convergence studies are conducted in order to assess the theoretical estimates, ant test the VEM formulation on triangular and polygonal meshes.

Nel contesto dell'elettrofisiologia computazionale, il modello EMI (Extracellular-Membrane-Intracellular) viene utilizzato per studiare l'attività elettrica delle cellule eccitabili. Il suo principale vantaggio risiede nella sua capacità di catturare le proprietà locali della cellula rappresentando esplicitamente gli spazi extracellulari e intracellulari, e la membrana cellulare. Il modello è composto da un sistema di equazioni differenziali parziali (EDP) definite negli spazi intracellulari ed extracellulari, accoppiato a un sistema di equazioni differenziali ordinarie (EDO) definite sulla membrana. In questa tesi viene introdotto il Metodo degli Elementi Virtuali (VEM) come tecnica di discretizzazione per una versione semplificata del modello EMI. La differenza chiave tra VEM e il Metodo degli Elementi Finiti (FEM) è che il primo consente di gestire mesh complesse composte da generici elementi poliedrici. Per la soluzione numerica del problema vengono proposti due approcci diversi: l'utilizzo di schemi di splitting, che permettono dividere il modello in sottoproblemi da risolvere separatamente, e un approccio monolitico che mira a discretizzare e risolvere il problema simultaneamente. Per ciascuna formulazione, vengono condotti esperimenti numerici e studi di convergenza al fine di valutare le stime teoriche e testare la formulazione VEM su mesh triangolari e poligonali.