A polytopal discontinuous Galerkin method for the Stokes-Brinkman problem with application to the modeling of the glymphatic system

Dementia represents a significant global health challenge, affecting millions of individuals worldwide, with Alzheimer's disease constituting a substantial portion of cases. Traditional medical experimentation for neurological disorders is costly and carries intrinsic risks, necessitating alternative approaches. Computer modeling offers a promising avenue to integrate animal-based studies, particularly in understanding the human brain's complex mechanics, including the role of the glymphatic system in removing waste products and toxic proteins from the brain. Dysfunction of this system is implicated in Alzheimer's pathology, motivating research into its mechanisms and potential therapies. This thesis explores computational modeling techniques to study the dynamics of cerebrospinal fluid, crucial for understanding the functioning of the glymphatic system. By employing the formulation of the Stokes problem with a pseudo-stress variable for analyzing the dynamics of a free flow, a discontinuous Galerkin discretization method on polytopal grids (PolydG) is rigorously presented, along with a detailed analysis of the stability and convergence of the method itself. The study then extends to the Stokes-Brinkman model, which simulates fluid flow through a porous medium in the central nervous system. We present its algebraic formulation, stability and convergence analysis. The numerical results obtained highlight the accuracy and reliability of the proposed computational methods in accurately simulating the dynamics of cerebrospinal fluid and flow through porous media.

La demenza rappresenta una significativa sfida sanitaria globale, poiché colpisce milioni di individui in tutto il mondo, con il morbo di Alzheimer che costituisce una parte sostanziale dei casi. La sperimentazione medica tradizionale per i disturbi neurologici è costosa e comporta rischi intrinseci, rendendo necessari approcci alternativi. La modellazione computerizzata offre una promettente via per integrare gli studi basati sugli animali, in particolare per comprendere la complessa meccanica del cervello umano, e più in dettaglio il ruolo del sistema glinfatico nella rimozione di prodotti di scarto e proteine tossiche dal cervello. Il malfunzionamento di questo sistema è implicato nella patologia del morbo di Alzheimer, motivando la ricerca sui suoi meccanismi e sulle potenziali terapie. Questa tesi esplora le tecniche di modellazione computazionale per studiare la dinamica del liquido cerebrospinale, fondamentale per comprendere il funzionamento del sistema glinfatico. Utilizzando la formulazione del problema di Stokes rispetto alla variabile pseudo-stress per l'analisi della dinamica di un flusso libero, viene proposto in modo rigoroso un metodo di discretizzazione di tipo Galerkin discontinuo su griglie politopali (PolydG in breve), insieme ad un'analisi dettagliata di stabilità e convergenza del metodo stesso. Lo studio si estende poi al modello di Stokes-Brinkman, che simula il flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso nel sistema nervoso centrale. Ne presentiamo la formulazione algebrica, l'analisi di stabilità e convergenza. I risultati numerici ottenuti evidenziano la precisione e l'affidabilità dei metodi computazionali proposti nel simulare in modo accurato la dinamica del fluido cerebrospinale e il flusso attraverso mezzi porosi.