Monte Carlo and Multilevel Monte Carlo Methods for the Fisher-Kolmogorov equation

This thesis explores the application of Monte Carlo and Multilevel Monte Carlo techniques to model uncertainty in the Fisher-Kolmogorov equation, with application to the progression of neurodegenerative diseases, focusing on Alzheimer's disease (AD). One of the main causes of some neurodegenerative disorders as AD is the propagation of misfolded proteins in the central nervous system. A typical mathematical approach employed to model such a phenomenon is the Fisher-Kolmogorov-Petrovksy-Piskunov equation, coupled with uncertainty quantification techniques to address the influence of the protein's conversion rate, modelled as a stochastic random variable. To compute the solution approximately we employ the Discontinuous Galerkin method on polygonal grids coupled with Crank-Nicolson time discretization. We then use the Monte Carlo method to delineate a range of possible dynamics scenario based on different choices of the protein conversion rate. To overcome the computational limitations of the Monte Carlo approach, especially in terms of computational complexity, we investigate the Multilevel Monte Carlo method as an alternative approach. Through simulations, the thesis demonstrates the Multilevel Monte Carlo method's superior capacity to deliver enhanced precision and without suffering from high computational cost.

Questa tesi esplora l'applicazione delle tecniche di Monte Carlo e Monte Carlo Multilivello per modellare l'incertezza nell'equazione di Fisher-Kolmogorov, applicata alla progressione delle malattie neurodegenerative e focalizzata sulla malattia di Alzheimer (AD). Una delle principali cause dei disturbi neurodegenerativi come la AD è la propagazione di proteine mal ripiegate nel sistema nervoso centrale. Un approccio matematico usato tipicamente per modellare tale fenomeno è l'equazione di Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov, accoppiata a tecniche di quantificazione dell'incertezza per studiare l'influenza del tasso di conversione delle proteine, modellato come variabile aleatoria. Per calcolare la soluzione approssimata utilizziamo il metodo di Galerkin a elementi discontinui su griglie poligonali, insieme a una discretizzazione temporale di Crank-Nicolson. Utilizziamo quindi il metodo di Monte Carlo per delineare una gamma di possibili scenari della dinamica della soluzione, basati su diverse scelte del tasso di conversione delle proteine. Per superare i limiti computazionali dell'approccio di Monte Carlo, specialmente in termini di complessità computazionale, usiamo il metodo Monte Carlo Multilivello come alternativa. Attraverso simulazioni, questa tesi dimostra la superiore capacità del metodo Monte Carlo Multilivello di fornire una maggiore precisione senza soffrire di un elevato costo computazionale.