POD-NN enhanced model predictive control: application to thermal cloaking

Many optimal control problems require the knowledge of optimal control strategies in real-time. This thesis aims to develop a fast and reliable Model Predictive Control (MPC) algorithm capable of solving the thermal cloaking problem. In this challenging example, the MPC method has to find the optimal space-time control in order to steer the thermal field towards the reference one, which is the solution of the time-dependent heat equation in the absence of the object to cloak. Since MPC algorithms require multiple resolutions of the differential equations describing the phenomenon under study, we here consider Neural Networks (NNs) as surrogate models to improve the performances with respect to full-order high-fidelity solvers. In particular, NNs approximate the map going from few input parameters to the corresponding solution of the differential equation considered, which can be high-dimensional. Reduced Order Modeling (ROM) techniques, such as Proper Orthogonal Decomposition (POD), are therefore needed to reduce the output layer dimensionality, allowing for a lighter training phase and a smaller training dataset. For instance, POD reduces the degrees of freedom of the high-dimensional solution of the differential equation through a projection onto a lower dimensional linear manifold. The combination of NNs and ROM techniques entails a huge computational speedup compared to the standard MPC approach, with only a minimal increase of the inaccuracy of the method.

Molti problemi del controllo dell'ottimo richiedono delle strategie che agiscono in tempo reale. Lo scopo di questa tesi è la costruzione di un algoritmo di Model Predictive Control (MPC) per la risoluzione di un problema di cloaking termico. In questo impegnativo esempio, l'algoritmo deve trovare il miglior controllo spazio-temporale in modo da modificare il campo di controllo intorno all'ostacolo, per renderlo indistinguibile dallo stato di riferimento, che è la soluzione dell'equazione del calore ottenuta in assenza dell'oggetto da nascondere. L'algoritmo MPC ha bisogno di risolvere molteplici volte la stessa PDE per ogni istante di tempo considerato: per questo motivo una rete neurale viene usata come modello surrogato per migliorare la velocità computazionale del metodo, rispetto ad un risolutore full-order. La rete approssima la mappa che prende in input pochi parametri e restituisce la soluzione corrispondente dell'equazione considerata, che può essere di grandi dimensioni. Metodi di riduzione dell'ordine, come la Proper Orthogonal Decomposition (POD), sono utili per ridurre la dimensione dell'output layer, permettendo una fase di training più veloce e meno costosa, ed un dataset di training più piccolo. Per esempio il metodo POD riduce i gradi di libertà della soluzione di grandi dimensioni tramite una proiezione in uno spazio più piccolo e lineare. L'utilizzo combinato di reti neurali e POD implica un ottimo aumento di velocità computazionale rispetto ad un approccio standard MPC, senza alcuna perdita dal punto di vista dell'accuratezza della soluzione.