Learning the stabilization parameter for the Hybrid High-Order method via artificial neural networks

The Hybrid High-Order (HHO) method is a numerical method that makes use of polytopal meshes to solve partial differential equations. There are various advantages of this method that set it apart from classical techniques such as finite elements or finite volumes. The construction of this method makes use of a stabilization component, where the stabilization parameter plays an important role in the reduction of the computational cost of solving the system. So far, the value of this parameter has been set based on numerous empirical tests, but it is believed that a better value for it would ulteriorly reduce the cost of solving the associated linear system. In this work, a new technique to select the optimal choice for this parameter is investigated, making use of artificial neural networks. To show the advantages of this technique, we consider the diffusion-reaction equations with possibly heterogeneous diffusion coefficients. The underlying idea of this approach is to measure the computational cost through the condition number of the linear system's matrix or the number of conjugate gradient iterations needed to solve the system. These quantities are estimated by the neural network and the best stabilization parameter is obtained by solving a minimization problem. The implementation combines the C++ library HArDCore2D for the numerical method with Python for the neural network.

Il metodo Hybrid High-Order (HHO) è un metodo numerico che fa uso di griglie politopali per risolvere equazioni differenziali alle derivate parziali. Ci sono diversi vantaggi nell'utilizzo di questo metodo che lo distinguono da tecniche classiche come gli elementi finiti o i volumi finiti. La costruzione di questo metodo fa uso di un componente di stabilizzazione, dove il parametro di stabilizzazione gioca un ruolo importante nella riduzione del costo computazionale della soluzione del sistema. Finora, il valore di questo parametro è stato impostato basandosi su test empirici, ma si ritiene che un valore ottimale per quest'ultimo ridurrebbe ulteriormente il costo della soluzione del sistema lineare associato. In questo lavoro, viene investigata una nuova tecnica per selezionare la scelta ottimale di questo parametro, facendo uso di reti neurali. Per mostrare i vantaggi di questa tecnica, consideriamo le equazioni di diffusione-reazione con coefficienti possibilmente eterogenei. L'idea sottostante a questo approccio è misurare il costo computazionale attraverso il numero di condizionamento della matrice del sistema lineare o il numero di iterazioni del metodo del gradiente coniugato necessarie a risolverlo. Queste quantità vengono stimate dalla rete neurale e il miglior parametro di stabilizzazione è ottenuto risolvendo un problema di minimizzazione. L'implementazione combina la libreria C++ HArDCore2D per il metodo numerico con Python per la rete neurale.