Stability analysis for bimodal solutions of a nonlinear forced system modelling suspension bridges with piers

A stability analysis for a forced nonlinear system of PDEs modelling the dynamics of a degenerate plate with internal piers, that represents a suspension bridge, is presented. The solution of this system has two components, respectively describing the longitudinal and the torsional oscillations of the plate. The main goal of this work is to identify which choices of the initial data and of the parameters appearing in the system trigger a relevant energy transfer from the longitudinal to the torsional component, as occurred in several catastrophic events in the history of suspension bridges (like the Tacoma Narrows Bridge collapse in 1940). The novelty of the present monograph consists in explicitly taking into account the role of a stationary forcing term, concentrated on a single longitudinal mode, in this stability analysis. To accomplish this goal, after recalling the functional framework for degenerate plates with piers and the explicit form of the vertical and torsional fundamental modes, the mathematical tools underlying the stability analysis of bimodal solutions are discussed, among which the Floquet Theorem and the theory of the Hill equation. Such tools are applied to the ODE system satisfied by bimodal solutions concentrated on a single (prevailing, that is, initially large) longitudinal mode and a single torsional mode, obtaining some original stability results for the considered problem. Finally, several numerical simulations allowing one to understand to what extent the external force changes the stability of the system are presented and discussed in detail.

In questo lavoro viene presentata un'analisi di stabilità per un sistema non lineare forzato di EDP che descrive la dinamica di una piastra degenere, con pilastri intermedi, considerata come modello matematico di un ponte sospeso. La soluzione di tale sistema possiede due componenti, che descrivono rispettivamente le oscillazioni longitudinali e torsionali della piastra. L'obiettivo principale risiede nell'individuazione delle scelte dei dati iniziali e dei parametri che compaiono nel sistema per i quali si verifica un trasferimento significativo di energia dalla componente longitudinale a quella torsionale, come avvenuto in occasione di vari eventi catastrofici nella storia dei ponti sospesi (per esempio, il crollo del Tacoma Narrows Bridge nel 1940). La novità di questa monografia consiste nel considerare esplicitamente il ruolo di un forzante stazionario, concentrato su un singolo modo longitudinale, in tale analisi di stabilità. Ai fini di tale studio, dopo aver richiamato l'ambientazione funzionale per piastre degeneri con pilastri intermedi e la forma esplicita dei modi fondamentali verticali e torsionali, vengono discussi gli strumenti matematici su cui si basa l'analisi di stabilità di soluzioni bimodali, tra cui il Teorema di Floquet e la teoria dell'equazione di Hill. Tali strumenti sono applicati al sistema di EDO soddisfatto dalle soluzioni bimodali concentrate su un singolo modo longitudinale (prevalente, cioè inizialmente di ampiezza grande) ed un singolo modo torsionale, ottenendo alcuni risultati originali di stabilità per il problema considerato. Infine, sono presentate e discusse nel dettaglio diverse simulazioni numeriche che permettono di comprendere in quale misura la forzante esterna influenzi la stabilità del sistema.