Generalized Poincaré-Sobolev inequality with matrix valued weights

In the framework of functional analysis, the Poincaré inequality plays a fundamental role as it allows to bound the norm of a function with the norm of its weak derivative, pro- viding convergence and stability estimates. In this work we present some result established in [3, 6]. After setting the basis that cover classical Sobolev spaces, submanifolds and the Sobolev spaces with matrix-valued weights, this work goals to prove the possibility of generalizing the original inequality starting from a set of hypothesis on the topology of the consid- ered domain and on the weight-matrix. The strategies adopted to prove this result are modeled based on those already used in the literature, additionally employing techniques from differential geometry.

Nell’ambito dell’analisi funzionale, la disugualianza classica di Poincaré è un risultato di fondamentale importanza poiché rende possibile controllare la norma di una funzione con la norma della sua derivata debole, permettendo di generare stime di convergenza e sta- bilità. In questa tesi presentiamo alcuni risultati ottenuti in [3, 6]. Dopo aver introdotto la teoria di base sugli spazi di Sobolev classici e sulle varietà e sugli Spazi di Sobolev con pesi matriciali, questo lavoro ambisce a dimostrare come, partendo da ipotesi sulla matrice peso e sulla topologia del dominio considerato, si possa ottenere una generalizzazione della disuguaglianza originale. Le strategie adottate per provare tale risultato sono modellate a partire da quelle che sono già state impiegate in letteratura, avvalendosi in aggiunta di tecniche di geometria differenziale.