Quantum game theory

Quantum game theory is an extension of classical game theory, which sees the integration of elements of quantum mechanics in its standard settings. Strategic interactions among rational decision-makers can be therefore studied in a quantum framework. As we will show, the possible adoption of quantum strategies might give players an advantage over the ones who only rely on classical moves and can allow them to reach points of equilibrium that were not observed in the classical version of the considered games. We will begin by taking into consideration games where two players can make use of two strategies each, such as in the Penny Flip Game, the Prisoner’s Dilemma and the Battle of the Sexes. These games present different scenarios, in which sometimes the decision- makers have to compete with one another, as it happens in the Penny Flip Game, being it a zero-sum game. In other cases, the agents are instead required to coordinate to reach the best outcomes, like in the Battle of the Sexes. In both circumstances, the extension of the games into the quantum workspace, can help the players improve their payouts. Successively, we will expand our study, accounting for a bigger number of decision-makers. We will in fact firstly consider games involving three players, the Cooling Pie Dilemma and the Crowded Bar Game. Later, a game with an indefinite amount of agents will be studied: the El Farol Bar. Finally, we will analyze the instance of players having at their disposal more than two strategies. We will begin by studying three-strategies games as the Optional Prisoner’s Dilemma and Rock, Paper, Scissor; ultimately considering a game where the agents have a potentially unbounded set of strategies, the Edgeworth-Bertrand Duopoly Model. For every considered game, we will initially study its classical version, where no element of quantum mechanics is present. After that, we will compare the obtained results with the ones reached in the quantum case, examining eventual changes in the adopted strategies, the final states that emerge from them and the consequent payoffs. Throughout this thesis, we will point out strengths and weaknesses of the quantum approach, highlighting exactly what advantages it can lead to and under what conditions.

La teoria dei giochi quantistica è un’estensione della teoria dei giochi classica, che prevede l’integrazione di elementi di meccanica quantistica. Ne consegue l’opportunità di studiare interazioni strategiche tra agenti razionali, in un contesto quantistico. Mostreremo come la possibilità di adottare strategie quantistiche possa offrire ai giocatori un vantaggio nel confrontarsi con chi è limitato all’utilizzo di scelte classiche, così come la capacità di giungere a punti di equilibrio precedentemente irraggiungibili. Inizieremo considerando giochi in cui due giocatori dispongono di due possibili strategie ciascuno, come il Penny Flip Game, il Prisoner’s Dilemma ed il Battle of the Sexes. Essi presentano diversi scenari, nei quali talvolta gli agenti si trovano in competizione l’uno con l’altro, come accade nel Penny Flip Game, essendo un gioco a somma zero. In altri casi, i giocatori necessitano invece di coordinarsi o collaborare per ottenere gli esiti più desiderabili, ne è un esempio il Battle of the Sexes. In entrambi i casi, l’estensione di tali giochi all’ambito quantistico consente ai partecipanti un aumento dei guadagni. Successivamente, espanderemo tale studio, analizzando il caso in cui il numero di gio- catori sia maggiore di due. Considereremo prima giochi con tre partecipanti, il Cooling Pie Dilemma ed il Crowded Bar Game. In seguito, studieremo un gioco che ammette un numero indefinito di giocatori, il El Farol Bar. Infine, amplieremo la nostra analisi al caso in cui ciascun giocatore abbia a disposizione tre o più strategie. Esamineremo prima giochi a tre strategie, ossia il Optional Prisoner’s Dilemma e Sasso, Carta, Forbici; concludendo con lo studio di un caso in cui ogni agente dispone di un numero illimitato di strategie, il Edgeworth-Bertand Duopoly Model. Studieremo ogni gioco menzionato, inizialmente nel contesto classico, in assenza di el- ementi quantistici. In un secondo momento, confronteremo i risultati così ottenuti con quelli inerenti al caso quantistico, evidenziando eventuali variazioni nelle strategie implementate, negli stati finali che ne conseguono ed i guadagni ad essi associati. Nel corso di questa tesi, osserveremo vantaggi e limiti dell’approccio quantistico, evidenziando i benefici che esso offre, ma anche le eventuali condizioni che essi richiedono.