Uniqueness Results for the Schrodinger Equation on Weighted Graphs

The study of partial differential equations (PDEs) posed on graphs is a relatively new area that is gaining traction within the mathematical community. Transferring and "translating" the vast literature on classical PDEs into this new context is certainly not simple and is currently subject of study. The ultimate goal of these researches is to obtain increasingly useful results to refine and expand the theory available to us within this new mathematical framework. The aim of this thesis was precisely to try to contribute, even if modestly, with new original results to the research in this field. To achieve this, we extensively reviewed existing literature to fully grasp the techniques employed in deriving new theorems or lemmas. Our goal was to potentially replicate these techniques and to determine a specific area of focus. We opted to concentrate on the Schrödinger equation. Specifically we focused on investigating the uniqueness of solutions to this equation on the so-called infinite weighted graphs. After a thorough and meticulous study of several researches, whose results will be reported within this work, we have managed to demonstrate, in two distinct cases, the uniqueness of solutions to the Schrödinger equation under different assumptions compared to those previously explored in the literature. These findings align well with the existing framework concerning this particular application of PDEs on graphs, and we believe they can serve as a starting point for further innovative research and results.

Lo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) poste su grafi è un settore relativamente nuovo che sta guadagnando consensi all'interno della comunità matematica. Trasferire e "tradurre" l'ampia letteratura esistente sulle PDE in questo nuovo contesto non è certamente semplice ed è attualmente oggetto di studio. L'obiettivo finale di queste ricerche è ottenere risultati sempre più utili per raffinare ed espandere la teoria disponibile in questo emergente campo della matematica. Lo scopo di questa tesi era precisamente quello di cercare di contribuire, seppur modestamente, con nuovi risultati originali alla ricerca in questo preciso settore. Per raggiungere questo obiettivo, abbiamo esaminato approfonditamente la letteratura esistente per comprendere appieno le tecniche impiegate nella derivazione di nuovi teoremi o lemmi. Il nostro obiettivo era di poter potenzialmente replicare e fare nostre queste tecniche e di individuare un'area specifica di interesse. Abbiamo deciso di concentrarci sull'equazione di Schrödinger e, in particolare, abbiamo voluto indagare l'unicità delle soluzioni di questa particolare equazione differenziale sui cosiddetti grafi pesati infiniti. Dopo uno studio accurato e meticoloso di diversi articoli scientifici, che saranno richiamati all'interno di questo lavoro, siamo riusciti a dimostrare, in due casi distinti, l'unicità delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger con ipotesi diverse rispetto a quelle precedentemente esplorate nella letteratura. Questi risultati si inseriscono bene nel quadro esistente riguardante questa particolare applicazione delle PDE sui grafi, e crediamo possano servire come punto di partenza per ulteriori studi e risultati innovativi.