Semiclassical limits in QFT - the Van Hove model

In this thesis, we investigate semiclassical limits in Quantum Field Theory, focusing on the Van Hove model, a system of a finite number of fixed nucleons interacting with a relativistic scalar Bose field. By employing the mathematical tools necessary for semiclas- sical analysis in infinite-dimensional spaces, we investigate the convergence of the ground state, demonstrating that when the quantum effects become negligible, the ground state energy approaches the infimum of the classical energy functional. In addition, we explore the system’s behavior under infrared divergences, highlighting the significance of the non- Fock representation in the renormalization process. The core of our analysis reveals that, in both the regular case and the infrared singular case, as the boson field approaches its classical value, the generating functional for the ground state converges to a Radon measure on the classical phase space. The results obtained can contribute to a deeper understanding of the classical limits of quantum systems, offering new insights for further research in QFT.

In questo lavoro di tesi, si presenta lo studio di limiti semiclassici nell’ambito della Teoria Quantistica dei Campi, concentrandosi sul modello di Van Hove. Si tratta di un sistema dove un numero finito di particelle quantistiche fisse interagisce con un campo scalare relativistico e di Bose. Utilizzando gli strumenti matematici necessari per l’analisi semi- classica in spazi infinito-dimensionali, particolare attenzione è rivolta alla convergenza dell’energia dello stato fondamentale, dimostrando che quando gli effetti quantistici di- ventano trascurabili, il ground state dell’Hamiltoniana converge al minimo dello spettro del funzionale classico. Nel core dell’elaborato viene studiato anche il comportamento del sistema in presenza di divergenze infrarosse, evidenziando l’importanza di una rap- presentazione non-Fock nel processo di rinormalizzazione. I risultati che emergono dal lavoro rivelano che, come il campo bosonico si avvicina al suo valore classico, il funzionale di generazione per lo stato fondamentale converge a una misura di Radon sullo spazio delle fasi classico. Questa convergenza viene dimostrata sia per il caso regolare che per quello che presenta divergenze infrarosse. I risultati ottenuti possono contribuire a una più profonda comprensione dei limiti classici dei sistemi quantistici, offrendo nuovi spunti per ulteriori ricerche in ambito QFT.