Optimal Expected-Shortfall portfolio selection with Copula-induced dependence

The portfolio selection problem is a topic that received a lot of attention in the past decades. It consists in finding the optimal percentage of budget to invest in each given asset of a portfolio in such a way to minimize a certain risk measure of the portfolio. In this thesis we analyze a framework that uses the Expected Shortfall as the risk mea sure, because of its desirable properties, and that uses a copula function to model the dependence structure of the various assets. This model is highly flexible, since it allows to choose the marginal distributions of the portfolio assets and the copula modeling their joint distribution fully independently, without imposing any a priori restriction, as long as the marginal distribution has finite expectation and the copula is absolutely contin uous. We model the asset returns with a Copula-GARCH(1,1) model, and we estimate the marginal and copula parameters by means of a maximum likelihood estimation. We explain in detail the whole framework, illustrating all the necessary steps for the computa tions and providing all the required formulas. Finally we apply our model to an illustrative toy example, in order to understand whether our model possess all the desired properties of a portfolio selection framework, and then we present an application to real market data.

Il problema di selezione del portafoglio ottimo è un argomento che ha ricevuto abbon dante attenzione negli scorsi decenni. Esso consiste nel trovare la percentuale ottimale di capitale da investire in ogni dato asset del portafoglio in modo tale da minimizzare una certa misura di rischio del portafoglio. In questa tesi viene trattato un modello che uti lizza l’Expected Shortfall come misura di rischio, a causa delle sue proprietà convenienti, e che usa una funzione copula per modellizzare la struttura di dipendenza tra i vari assets. Questo modello è notevolmente flessibile, in quanto permette di scegliere la distribuzione marginale degli asset del portafoglio e la copula che modellizza la loro distribuzione con giunta in modo del tutto indipendente, senza imporre alcuna restrizione a priori, purché la distribuzione marginale abbia valore atteso finito e la copula sia assolutamente con tinua. I ritorni dei vari assets sono stati modellati con un modello Copula-GARCH(1,1), e i parametri delle distribuzioni marginali e della copula sono stati stimati con il metodo della massima verosimiglianza. L’intero modello e tutti i passi necessari per implemen tarlo sono illustrati in dettaglio, fornendo tutte le formule necessarie. Infine è presentato un esempio di applicazione illustrativo, allo scopo di constatare se questo modello abbia tutte le caratteristiche desiderabili in un modello di selezione del portafoglio ottimo, e successivamente è illustrata un’applicazione di questo modello a dati reali di mercato.