A new computational method for fluid-structure interaction of slender bodies immersed in three-dimensional flows

Summary: This PhD dissertation aims to develop a new modelling and computational approach for the simulation of slender bodies immersed in three dimensional flows (3D). Thanks to the special geometric configuration of the slender structures, we can model this problem by mixed-dimensional coupled equations in which the solid balance equations are formulated in a one-dimensional (1D) domain. Addressing these types of problems presents several challenges. From a mathematical perspective, the main two difficulties involve defining well-posed trace operators of co-dimension two (from the 3D to the 1D domain) and ensuring the accuracy of solutions obtained with the mixed-dimensional formulation when compared to the fully 3D one. From a computational point of view, the non-standard mathematical formulation of the coupled problem makes it difficult to guarantee the convergence of the discrete solutions with standard numerical approaches. The main advantages of the approach we present in this manuscript lies in its strong mathematical basis. Indeed, while many standard mixed-dimensional formulations yield solutions with poor regularity due to ill-posed trace operators, our reduced order method generates solutions within standard Hilbert spaces. This facilitates the application of Galerkin projection-based approximation methods such as the finite element method (FEM). In the second chapter, we establish the continuous formulation of the 3D fluid-structure interaction coupled problem using incompressible Navier-Stokes equations for the description of the fluid dynamics and a linear Timoshenko beam model for modeling the response of the slender structure. These two models are coupled with a mixed-dimensional version of fluid-structure interface conditions, combining the fictitious domain (FD) approach with the projection of kinematic coupling conditions onto a finite-dimensional Fourier space via Lagrange multipliers. We then develop a discrete formulation based on the finite element method and a semi-implicit treatment of the Dirichlet-Neumann coupling conditions, employing a partitioned procedure for the resolution of the fluid-structure interaction problem. We establish the energy stability of the scheme and provide extensive numerical evidence of the accuracy and robustness of the discrete formulation, notably with respect to a full order model with standard coupling conditions. In the third and fourth chapter we conduct a mathematical analysis on the approximation error of our reduced order coupled method, examining both the modeling and numerical approximation errors resulting from the mixed-dimensional formulation and the fictitious domain finite element method, respectively. We explore these aspects in two simplified frameworks. We first consider a two-dimensional Poisson problem (2D) with a fixed immersed boundary and non-homogeneous Dirichlet boundary conditions. We then extend this analysis to the 2D stationary Stokes problem with rigid-body Dirichlet boundary conditions on the immersed interface. In both cases, after proving the existence of solutions for the reduced order problem, we prove its convergence, when the size of the obstacle is small, to the full order problem with standard Dirichlet boundary conditions. In particular, our estimates highlight the need to consider enough Fourier modes to achieve convergence on the Lagrange multipliers, which is an essential aspect in addressing the fluid-structure interaction coupled problem. Subsequently, the numerical discretization of the reduced order problem is analyzed. As standard for this family of methods, the convergence obtained with the fictitious domain finite element method is sub-optimal, due to the discontinuity of the solution at the interface. Furthermore, the stability and accuracy of the scheme depend on the ratio between the mesh size and the obstacle size, which can be restrictive for very small obstacles. To address the limitations of the fictitious domain approach, we propose and analyze two modified finite element method, one stabilized and one augmented. Finally, we develop a 2D fluid-structure interaction formulation where small particles are immersed in a Stokesian flow, applying reduced order interface coupling conditions. The properties of the reduced order model and the corresponding numerical methods are illustrated by some numerical experiments. Using a semi-implicit scheme for the resolution of the 3D fluid-structure interaction problem requires to iterate over the fluid and solid solvers multiple times, which can be computationally expensive. The most efficient approach for the time discretization of the fluid-structure interaction problem would be to adopt an explicit coupling scheme, solving this way the fluid and structure sub-problems only once per time step. However, for standard (Dirichlet-Neumann) explicit coupling schemes, a large fluid/solid density ratio combined with a slender and lengthy geometry gives rise to unconditional numerical instability. Subsequently, in the last chapter, we introduce a Robin-based loosely coupled scheme specifically designed for 3D mixed-dimensional formulation and prove its unconditional stability. We also provide numerical evidence of the accuracy of the explicit scheme through several test cases.

Sommario: Questa tesi di dottorato ha come obiettivo lo sviluppo di un nuovo approccio computazionale per la simulazione di corpi slanciati immersi in un flusso tridimensionale (3D). Sfruttando la particolare configurazione geometrica delle strutture slanciate, è possibile modellizzare il problema tramite equazioni accoppiate con dimensioni miste, in cui le equazioni di bilancio del solido sono formulate in un dominio unidimensionale (1D). Questo tipo di problemi presenta diverse difficoltà. Da un punto di vista matematico, si tratta di definire degli operatori di traccia ben definiti di codimensione due (dal dominio 3D al dominio 1D) oltre al garantire che le soluzioni ottenute con la formulazione in dimensioni miste siano vicine a quelle ottenute con una formulazione completamente 3D. Dal punto di vista computazionale, la formulazione matematica non convenzionale del problema accoppiato rende difficile garantire la convergenza delle soluzioni discrete con approcci numerici classici. In effeti, molte formulazioni miste producono soluzioni con scarsa regolarità a causa di operatori di tracia mal definiti, il nostro metodo ridotto genera soluzioni in spazi di Hilbert classici. Questo facilita l'applicazione di metodi di approssimazione basati sulla proiezione di Galerkin come il metodo degli elementi finiti (MEF) Nel secondo capitolo, presentiamo la formulazione continua del problema accoppiato 3D di interazione fluido-struttura, considerando le equazioni di Navier-Stokes incomprimibili per la descrizione della dinamica del fluido e un modello di trave lineare di Timoshenko per la modellizazione della risposta dinamica della struttura sottile. Questi modelli sono accoppiati con una versione delle condizioni di interfaccia fluido-struttura in dimensioni miste, che associa l'approccio del dominio fittizio (FD) con la proiezione delle condizioni di accoppiamento cinematico su uno spazio di Fourier a dimensioni finite tramite moltiplicatori di Lagrange. Successivamente, sviluppiamo una formulazione discreta basata sul metodo degli elementi finiti e un trattamento semi-implicito delle condizioni di accoppiamento Dirichlet-Neumann, utilizzando una procedura partizionata per la risoluzione del problema di interazione fluido-struttura. Stabilizziamo il regime di energia dello schema e forniamo numerose prove numeriche dell'accuratezza e della robustezza della formulazione discreta, in particolare rispetto a un modello classico (ALE) con condizioni di accoppiamento fluido-struttura convenzionali. Nei capitoli terzo e quarto, presentiamo l'analisi matematica dell'errore di approssimazione del metodo accoppiato e ridotto, esaminando sia gli errori di modellizazione che di approssimazione numerica derivanti rispettivamente dalla formulazione a dimensioni miste e dal metodo degli elementi finiti con dominio fittizio (FEM). Esploriamo questi aspetti in due contesti semplificati. Iniziamo col considerare un problema di Poisson 2D con una frontiera immersa fissa e condizioni al bordo di Dirichlet non omogenee. Estendiamo poi questa analisi al problema di Stokes 2D stazionario con condizioni al bordo di tipo solido rigido sull'interfaccia immersa. In entrambi i casi, dopo aver dimostrato l'esistenza della soluzione per il problema ridotto, ne proviamo la convergenza, quando le dimensioni dell'ostacolo tendono a zero, al problema completamente risolto con condizioni al bordo di Dirichlet standard. In particolare, le stime ricavate evidenziano la necessità di considerare abbastanza modi di Fourier per ottenere una convergenza sui moltiplicatori di Lagrange, che è un aspetto fondamentale per l'analisi del problema accoppiato di interazione fluido-struttura. Successivamente, analizziamo la discretizzazione numerica del problema ridotto. Come è consuetudine per questa famiglia di metodi, la convergenza ottenuta con il metodo degli elementi finiti di dominio fittizio è subottimale, a causa della discontinuità della soluzione all'interfaccia. Inoltre, la stabilità e l'accuratezza dello schema dipendono dal rapporto tra la dimensione caratteristica della griglia del fluido e la dimensione dell'ostacolo, il che può essere limitante per ostacoli molto piccoli. Per superare le limitazioni dell'approccio del dominio fittizio, proponiamo e analizziamo due metodi degli elementi finiti alternativi, un metodo stabilizzato e un metodo arricchito. Infine, sviluppiamo una formulazione dell'interazione fluido-struttura 2D in cui piccole particelle sono immerse in un flusso di Stokes, applicando condizioni di accoppiamento ridotte all'interfaccia. Le proprietà del modello ridotto e dei metodi numerici corrispondenti sono illustrate da alcuni esempi numerici. L'uso di uno schema semi-implicito per la risoluzione del problema di interazione fluido-struttura 3D richiede di iterare più volte sui solvers fluido e solido, il che può essere costoso in termini di tempo di calcolo. L'approccio più efficiente per la discretizzazione temporale del problema di interazione fluido-struttura è lo schema di accoppiamento esplicito, che consente di risolvere i sotto-problemi fluido e solido solo una volta per time step. Tuttavia, per gli schemi di accoppiamento esplicito standard (Dirichlet-Neumann), l'alto rapporto fra la densità del fluido e del solido insieme alla geometria slanciata causa spesso instabilità numerica. Nell'ultimo capitolo, introduciamo uno schema debolmente accoppiato basato su condizioni di interfaccia di Robin specificamente progettato per una formulazione 3D a dimensioni miste e ne dimostriamo la stabilità incondizionata. Forniamo inoltre prove numeriche della precisione dello schema esplicito attraverso diversi esempi.