Functional alpha-transformations for the statistical analysis of density functions.

The nature of probability density functions can cause problems when the classical methods of Functional Data Analysis are adopted, since square-integrability may fail and the constraints may not be taken into consideration. In that sense, the compositional log-ratio approach and multivariate Aitchison geometry have been generalized to the functional case with the definition of the Bayes space, that embeds densities in a suitable geometry. The goal of this work is to study the possibility of generalizing the multivariate alpha-transformations to the functional case. The alpha-transformations have been recently introduced as an alternative to the log-ratio approach in Compositional Data Analysis, and their main strengths are to include zeros in compositions and to control the degree of data modification through the parameter alpha. alpha-transformations allow the classical Functional Data Analysis methods to work on densities by transforming them into square-integrable functions and selecting the parameter in order to optimize a performance metric depending on the problem at hand. Moreover, the log-ratio transformation can be retrieved as a limit case of the alpha-transformation, hence the parameter selection process includes it as well. A real case study is presented to test the functioning of the procedure in a regression and time-series modelling scenario, together with the comparison with the log-ratio approach.

La definizione delle funzioni di densità può causare problemi quando vengono utilizzati metodi classici dell'Analisi Funzionale, siccome la quadrato-integrabilità potrebbe non essere verificata e i vincoli delle densità potrebbero non essere rispettati. In questo senso, l'approccio log-ratio multivariato e la geometria di Aitchison sono stati generalizzati al caso funzionale tramite la definizione dello spazio di Bayes, che costituisce la geometria nella quale vengono trattate le funzioni di densità. L'obiettivo di questa tesi è di studiare la possibilità di generalizzare le trasformazioni-alpha multivariate al caso funzionale. Le trasformazioni-alpha sono state introdotte come un'alternativa all'approccio log-ratio nell'analisi dei dati composizionali, e i loro maggiori punti di forza sono la capacità di trattare composizioni con uno o più zeri e la possibilità di poter controllare il grado di mutazione dei dati tramite il parametro alpha. Le trasformazioni-alpha permettono ai metodi classici di Analisi Funzionale di agire sulle densità dopo averle trasformate in funzioni quadrato-integrabili e di selezionare il parametro al fine di ottimizzare una misura di prestazione dipendente dal problema in questione. Inoltre, la trasformazione log-ratio può essere ottenuta come caso limite delle trasformazioni-alpha, dunque il processo di selezione del parametro include implicitamente anche questo approccio. Un caso studio viene presentato con lo scopo di testare il funzionamento della procedura in un problema di regressione e predizione tramite serie storiche, in cui si pone il confronto con l'approccio log-ratio.