A non-local phase-field model for tumor growth

The goal of this Master Thesis is to provide a rigorous analytical framework for a non-local phase-field model for tumor growth, obtained by coupling the Cahn-Hilliard equation with a parabolic reaction-diffusion equation. The concentrations of the tumor and the nutrient are the unknowns, with the first of the two being the phase variable. The novelty introduced by this work is that it includes the single-well Lennard-Jones potential, while in the literature only symmetric potentials have been considered up to now for similar models. We first prove existence of weak solutions in a very general framework, then with some additional assumptions we are able to prove additional regularity and a continuous dependence estimate with respect to the initial data. We also prove a separation property for the phase variable, exploiting the additional regularity given by two relaxation terms. Finally, we aim at removing such relaxations by means of an asymptotic analysis, which additionally allows to validate the original model. In one of the two cases, we are not able to let the relaxation parameter vanish asymptotically, thus we set it to zero and we provide an existence result for the corresponding problem.

L'obiettivo di questa Tesi di Laurea Magistrale consiste nel fornire una struttura matematica rigorosa per un modello di crescita tumorale non locale di tipo phase-field, ottenuto accoppiando l'equazione di Cahn-Hilliard e un'equazione parabolica di reazione e diffusione. Le concentrazioni del tumore e del nutriente sono le incognite, con la prima delle due che rappresenta la variabile di fase. L'originalità di questo lavoro consiste nell'includere nell'analisi il potenziale a pozzo singolo di Lennard-Jones, mentre finora in letteratura per modelli simili sono stati considerati solo potenziali simmetrici. Per prima cosa dimostriamo l'esistenza di soluzioni deboli sotto ipotesi poco restrittive, dopodiché con alcune assunzioni aggiuntive riusciamo a dimostrare proprietà di regolarità e una stima di dipendenza continua rispetto ai dati inziali. Inoltre, sfruttando la regolarità aggiuntiva data da due termini di rilassamento, dimostriamo una proprietà di separazione per la variabile di fase. Infine, rimuoviamo tali rilassamenti attraverso un'analisi asintotica che permette anche di validare il modello di partenza. In uno dei due casi, non si può sfruttare il passaggio al limite per il parametro di rilassamento che va a zero, perciò imponiamo tale parametro a zero e forniamo un risultato di esistenza per il sistema corrispondente.