Numerical modeling of the Purkinje-muscle coupled propagation in cardiac electrophysiology

The coupling between a problem defined on a one-dimensional domain and a problem on a three-dimensional domain constitutes an example of heterogeneous problem coupling. They represent a particularly interesting modelling and computational challenge in the mathematical field. An instance of this broad category can be found in the interaction between the Purkinje network and the myocardium within the context of cardiac electrophysiology. This phenomenon can be summarised as follows: the electrical signal propagating through the heart, and determining its contraction, travels through a dense network of fibres (the 1D domain in this case) before reaching the ventricles (the 3D domain). In this thesis, the goal is to address the full coupling between the Purkinje network and the cardiac muscle in a new way, accounting for the potential bidirectional propagation: both from the network to the muscle and vice versa, managing all possible re-entries of the signal between the two domains. While a healthy heart exhibits propagation in only the first direction, certain pathologies, such as bundle branch blocks or disorders related to the emergence of intramuscular sources, necessitate the inclusion of both forms of propagation in mathematical models that aim at accurately reproducing the physical phenomenon. This thesis focuses its efforts on the methodological and modelling aspects of the issue, with a view to implementing an algorithm that enables accurate numerical simulations of electrical conduction in the Purkinje-myocardium system under both healthy and pathological conditions. An added value of this work is provided by the clinically relevant results that can be reproduced on the real ventricular geometry of a patient, as well as the low computational cost achieved by solving the mathematical problem using the eikonal model in both the network and the muscle.

L’accoppiamento tra un problema definito su un dominio monodimensionale e un problema in un dominio tridimensionale costituisce un esempio di accoppiamento tra problemi eterogenei. Essi rappresentano una sfida modellistica e risolutiva di particolare interesse in ambito matematico. A questa vasta categoria si può ricondurre l’interazione che sussiste tra la rete del Purkinje e il miocardio nell’ambito dell’elettrofisiologia cardiaca. Tale fenomeno può essere sintetizzato come segue: il segnale elettrico che propaga nel cuore e ne determina la sua contrazione attraversa una fitta rete di fibre (il dominio 1D in questo caso) per poi raggiungere i ventricoli (il dominio 3D). In questa tesi si vuole affrontare l’accoppiamento del Purkinje con il muscolo cardiaco in un modo nuovo, che tenga conto della possibile propagazione in entrambe le direzioni: sia dalla rete verso il muscolo che viceversa, gestendo tutti i possibili rientri che il segnale può effettuare tra i due domini. Infatti, sebbene un cuore sano sia caratterizzato solo dalla propagazione nella prima direzione, in presenza di alcune patologie come i blocchi di branca o disordini legati alla comparsa di sorgenti intramusculari, emerge la necessità di includere entrambe le forme di propagazione nei modelli matematici che vogliano dare un’accurata riproduzione del fenomeno fisico. Questa tesi concentra il proprio sforzo sugli aspetti metodologici e modellistici della questione in funzione dell’implementazione di un algoritmo che consenta simulazioni numeriche accurate sulla conduzione elettrica nel sistema Purkinje-miocardio sia in condizioni sane che patologiche. Un valore aggiunto al lavoro è dato dai risultati di interesse clinico che si riescono a riprodurre sulla geometria ventricolare reale di un paziente, oltre che il basso costo computazionale che si riesce a garantire trattando la risoluzione del problema matematico con il modello eiconale sia nella rete che nel muscolo.