Approximation of multiscale problems using domain decomposition methods and model order reduction

This study tackles the main challenge of numerically solving multiscale problems, which arises from the complexity involved in discretizing, assembling, and solving the multiscale discrete operator. There is a pressing need for alternative approaches. To address this, the study combines domain decomposition techniques with model reduction methods, providing an effective solution to this computational hurdle. The theoretical foundation relies on domain decomposition techniques, which partition the domain into subdomains, allowing for a direct numerical solution within each subdomain. To avoid assembling the global problem, iterative domain decomposition methods, such as Schwarz methods, are employed. However, these methods incur significant computational costs because of the repeated resolution of local problems. To mitigate this computational burden, model reduction techniques are utilized, significantly lowering the computational cost of parameterized problems. Special emphasis is placed on non-intrusive, data-driven techniques that blend classical approaches with neural network-based approximation methods to construct efficient surrogate models, thus eliminating the need for projection into the original problem's discrete subspace. This work aims to merge domain decomposition techniques with non-intrusive model reduction techniques to develop an algorithm that approximates the global solution of the multiscale problem through the iterative solution of local problems. These local problems are approximated using reduced models, with training conducted exclusively on a local scale. The proposed methodology is applied to multiscale problems that arise from the interaction of microvascular networks with biological tissues. This application is vital in contexts where modern technologies synthesize extremely complex networks, surpassing current capabilities to simulate associated physical phenomena, such as diffusion transport equations. It will be demonstrated that the proposed methodology effectively overcomes these limitations.

Questa tesi affronta la sfida principale di risolvere direttamente problemi multiscala su un determinato dominio. L'impossibilità di assemblare il problema multiscala, dovuta alla sua eccessiva complessità, rende necessario lo sviluppo di strategie alternative. Questo studio integra tecniche di decomposizione di dominio con tecniche di riduzione del modello per superare questa criticità. La base teorica si fonda sulle tecniche di decomposizione del dominio, che suddividono il dominio in sottodomini, permettendo la risoluzione diretta del problema all'interno di ciascun sottodominio. Per evitare l'assemblaggio del problema globale, vengono impiegati metodi iterativi di decomposizione del dominio, come i metodi di Schwarz. Tuttavia, questi metodi comportano costi computazionali significativi a causa della ripetuta risoluzione dei problemi locali. Per mitigare questo onere computazionale, vengono utilizzate tecniche di riduzione del modello, che riducono significativamente il costo computazionale dei problemi parametrizzati. Particolare enfasi è posta su tecniche non intrusive e data-driven che combinano approcci tradizionali con metodi di approssimazione basati su reti neurali per costruire modelli surrogati efficienti, eliminando la necessità di proiezione nel sottospazio discreto del problema originale. Questo lavoro mira a combinare tecniche di decomposizione del dominio con tecniche di riduzione del modello non intrusive per sviluppare un algoritmo che approssimi la soluzione globale del problema multiscala attraverso la risoluzione iterativa di problemi locali. Questi problemi locali sono approssimati utilizzando modelli ridotti, con training condotto esclusivamente su scala locale. La metodologia proposta è applicata a problemi multiscala derivanti dall'interazione di reti microvascolari con tessuti biologici. Questa applicazione è cruciale in contesti dove le tecnologie moderne sintetizzano reti estremamente complesse, superando le attuali capacità di simulare i fenomeni fisici associati, come le equazioni di trasporto diffusivo. Sarà dimostrato che la metodologia proposta supera efficacemente queste limitazioni.