Backward Stochastic Differential Equations with a Default Jump for Pricing and Hedging of Defaultable Claims

This thesis investigates the theoretical foundations and practical applications of Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) featuring a default jump, with a special focus on the pricing and hedging of European contingent claims associated to defaultable assets, following the work of Dumintrescu, Quenez, Sulém (2017). Initially, we provide an in-depth analysis of the specific characteristics of this class of BSDEs, stating and proving the main theoretical results. Subsequently, we explore the financial applications, showing how the price of each claim, if the market is complete, can be hedged through a portfolio whose dynamics are governed by a BSDE. The analysis encompasses both perfect and imperfect markets, which lead, respectively, to a linear and a non-linear BSDE formulation. Finally, we propose two comprehensive numerical methods to solve the BSDEs in both scenarios. The findings offer valuable insights into the practical implementation of BSDEs in realistic financial settings, enhancing the available tools for effective risk management and derivative pricing.

Questa tesi indaga le basi teoriche e le applicazioni pratiche delle Equazioni Differenziali Stocastiche Retrograde (BSDEs) caratterizzate da un salto di default, con particolare attenzione al pricing e all’hedging di contingent claims europei associati a titoli soggetti a default, seguendo il lavoro di Dumintrescu, Quenez, Sulém (2017). Inizialmente, forniamo un’analisi approfondita delle caratteristiche specifiche di questa classe di BSDE, enunciando e dimostrando i principali risultati teorici. Successivamente, esploriamo le applicazioni finanziarie, mostrando come il prezzo di ciascun credito, se il mercato è completo, possa essere replicato con un portafoglio le cui dinamiche sono descritte da una BSDE. L’analisi comprende sia i mercati perfetti che quelli imperfetti, che conducono, rispettivamente, a una formulazione di BSDE lineare e non lineare. Infine, proponiamo nel dettaglio due metodi numerici per risolvere le BSDE in entrambi gli scenari. I risultati offrono spunti preziosi per l’implementazione pratica delle BSDE in contesti finanziari realistici, migliorando gli strumenti disponibili per una gestione efficace del rischio e del pricing dei derivati