Enhancing the numerical approximation of parametrized optimal control problems through proper orthogonal decomposition and artificial neural network

Many engineering applications employ Optimal Control Problems (OCPs) governed by parametric Partial Differential Equations (PDEs). However, this approach is limited to the remarkably high computational burden typically entailed, making it unsuitable to problems with strict timing requirements. In this thesis, we propose a new approach to solve OCP constrained by parametrized Navier-Stokes equations, combining the dimensionality reduction of the Proper Orthogonal Decomposition method with the ability of Artificial Neural Networks (ANNs) to learn complex mappings between inputs and outputs, employing the so-called POD-NN method. The work focuses on low-dimensional controls, which allows us to integrate the POD-NN solver into an iterative optimization algorithm. In particular, since POD-NN predicts rapidly the state velocity field as the control parameters change, it is possible to speed up the computation and the minimization of the loss functional to minimize. The proposed approach is then successfully tested on stationary and unsteady OCPs concerning two data reconstruction problems in the lid-driven cavity flow and in the 2D aortic domain, showing a remarkable speed up with respect to the FEM, while always remaining accurate.

Molte applicazioni ingegneristiche utilizzano problemi di controllo ottimale (OCP) governati da equazioni differenziali parziali parametriche (PDEs). Tuttavia, questo approccio è limitato dal carico computazionale notevolmente elevato che tipicamente comporta, rendendolo inadatto a problemi con requisiti temporali stringenti. In questa tesi viene sviluppato un nuovo approccio per risolvere OCP vincolati da equazioni di Navier-Stokes. L’approccio combina la riduzione dimensionale del metodo Proper Orthogonal Decomposition (POD) con la capacità delle Reti Neurali Artificiali (ANN) di apprendere mappature complesse tra input e output, sfruttando il cosiddetto metodo POD-NN. Il lavoro si concentra su controlli a bassa dimensionalità, il che ci consente di integrare il solver POD-NN in un algoritmo di ottimizzazione iterativo. In particolare, poiché POD-NN predice rapidamente il campo di velocità dello stato al variare dei parametri di controllo, è possibile accelerare il calcolo e la minimizzazione del funzionale di perdita da minimizzare. L'approccio proposto è stato quindi testato con successo su problemi di controllo ottimo stazionari e non stazionari riguardanti due problemi di ricostruzione dei dati nel flusso in cavità e nel dominio aortico 2D, mostrando un notevole miglioramento in termini di velocità rispetto al metodo degli elementi finiti (FEM), pur mantenendo sempre un'elevata accuratezza.