Computational investigation of Circle of Willis hemodynamics by a one-dimensional model

This thesis explores the hemodynamics of the Circle of Willis (CoW) using a one-dimensional computational model. The CoW, a vital arterial network at the base of the brain, ensures stable blood flow even in the case of vessel occlusion. Due to its anatomical variability, developing a flexible model is crucial for accurately simulating blood distribution under various conditions. This work presents a reduced one-dimensional model that balances computational efficiency with accurate predictions of blood flow and pressure wave propagation, with a particular focus on the imposition of branching conditions. Both complete and incomplete configurations of the CoW are studied, with a focus on the effects of vessel obstruction. Numerical simulations confirm the model’s reliability in predicting pressure and flow rate changes, demonstrating the efficacy of using a one-dimensional approach for such vascular networks. This work is intended to be a first attempt at modeling the CoW which includes also a detailed modeling of the branching points, aimed at analyzing the effects of bifurcation angles. The purpose is to develop a model to study the perfusion of different regions of the brain and understand how an occlusion might influence the blood supply.

Questa tesi si focalizza sull’analisi emodinamica del Circolo di Willis (CoW) mediante un modello computazionale monodimensionale. Il Circolo di Willis è una rete arteriosa situata alla base del cranio, essenziale per la distribuzione del sangue al cervello e la sua tipica struttura ad anello permette di garantire la perfusione cerebrale anche in caso di ostruzioni nei principali vasi sanguigni. Tuttavia, anche tra la popolazione sana circa il 50% presenta un Circolo di Willis incompleto. Data questa notevole variabilità tra individui, il modello proposto è progettato per essere flessibile rispetto alla topologia del dominio, consentendone l’applicazione a pazienti e condizioni diverse. Per dimostrarne la versatilità, il modello viene testato su due configurazioni: un CoW completo e uno con un vaso ostruito. L’aspetto innovativo di questa tesi risiede nell’implementazione di un modello che analizza l’importanza della biforcazione dei vasi, studiando come l’angolo di biforcazione possa influenzare il flusso sanguigno. Il modello 1D è stato scelto per la sua efficienza computazionale, grazie alla quale può essere testato sull’intera rete d’interesse in tempi ragionevoli. Quest’ultimo è un sistema di due equazioni differenziali alle derivate parziali, le cui variabili sono l’area e il flusso medio calcolati su ogni sezione di un vaso. Assumendo un comportamento elastico per le pareti arteriose, la pressione risulta determinata dall’area della sezione. In questa tesi, una discussione dettagliata è dedicata alle condizioni da imporre nei punti di biforcazione. In particolare, oltre alla conservazione della massa, vengono analizzate due ipotesi: imporre la totale conservazione della pressione totale o assumere una caduta di pressione a valle della biforcazione in funzione dell’angolo di biforcazione. Il modello viene poi discretizzato usando un metodo di Taylor-Galerkin del secondo ordine sia in spazio che in tempo. Il sistema non lineare nei punti di biforcazione viene risolto con il metodo di Newton. Dopo aver scelto come discretizzare il nostro modello, siamo passati ai risultati numerici. Per prima cosa, l’implementazione è stata verificata su una rete più semplice, costituita da soli tre rami e una sola biforcazione. Questa rete è stata utilizzata anche per eseguire i test di convergenza del metodo. Successivamente sono stati analizzati i risultati sulle due geometrie di interesse, ottenute estraendo le centerline da una geometria di riferimento, utilizzando VMTK. Come primo step, abbiamo confrontato i risultati sul CoW completo imponendo diverse condizioni nei punti di biforcazione. Abbiamo osservato che, nel caso in cui viene considerato il calo di pressione, si ottengono risultati più coerenti con quelli già presentati in letteratura. Infine, abbiamo analizzato le differenze, in termini di apporto di sangue, tra la geometria completa e quella con ostruzione. Abbiamo osservato che la mancanza di un vaso il flusso sanguigno viene parzialmente deviato in altre zone, comportando un minore apporto di sangue nella parte anteriore del cervello. Questo potrebbe comportare un maggiore rischio di ischemia nella regione anteriore per i pazienti che presentano questa occlusione o che hanno un CoW completamente privo del vaso considerato.