Domain decomposition preconditioner for a unique continuation problem for the heat equation

Several ways to numerically solve a unique continuation problem for the heat equation have been presented in the literature. The goal in these problems is to solve the heat equation in a domain when boundary or initial conditions are missing, but we are given instead the exact solution on a subset of the domain. One way that turned out to be suitable for a rigorous error analysis uses a "discretize-then-regularize" approach where the problem is translated into a saddle point problem for a discrete Lagrangian function. For this second version of the problem, we use an all-at-once space-time discretization using Finite Elements which is not present yet in the literature. The algebraic system resulting from this discretization has a saddle point structure, and it rapidly increases in size and in conditioning along with an increase of the mesh refinement. This leads to a challenging problem to solve with direct methods, so the use of iterative methods is preferred. For the latters, the use of preconditioners is usually needed. To cope with large size problems it is natural to switch to distributed architectures to reduce the computational burden by spreading the computation over multiple cores. Two-level domain decomposition methods (DDMs) represent an hybrid solution to build optimal and scalable preconditioners that can be easily applied mostly in parallel. A recently developed method to build DDMs preconditioners for saddle point problems is presented in this work and it is used for the linear system resulting from the unique continuation problem mentioned above. Numerical tests highlighted the presence of an evident scalability issue affecting the method. Some ideas are given with the purpose to isolate the origin of the scalability problem, but from the performed numerical tests there is no numerical evidence to identify it with precision. It transpires from this work that further developments are needed to obtain a DDMs preconditioner that is optimal and scalable for a generic saddle point system.

In letteratura sono presenti diversi metodi per risolvere numericamente un problema di univoco prolungamento per la soluzione dell'equazione del calore. L'obiettivo in questi problemi è quello di risolvere l'equazione del calore su un dominio senza conoscere condizioni iniziali o al bordo, ma conoscendo la soluzione esatta in un sottoinsieme proprio del dominio. Fra i metodi ideati, uno per cui è relativamente semplice fare una rigorosa analisi di convergenza utilizza un approccio del tipo "discretizza poi regolarizza" e consiste nel tradurre il problema in uno di punto sella per una funzione Lagrangiana costruita a livello discreto. Per questa seconda versione del problema, verrà utilizzata una discretizzazione simultanea in spazio e tempo, usando il metodo degli Elementi Finiti, che non è ancora presente in letteratura. Il sistema lineare risultante ha una struttura di punto sella e sia la dimensione sia il numero di condizionamento aumentano con l'aumentare del raffinamento della griglia. Ciò porta a preferire i metodi iterativi rispetto ai metodi diretti, anche se per i primi è spesso necessario l'utilizzo di un precondizionatore. Inoltre, per problemi su larga scalare è naturale passare ad architetture parallele per distribuire il carico computazionale su più processori. I metodi di decomposizione del dominio (DDMs) a due livelli rappresentano una soluzione ibrida per costruire precondizionatori ottimali e scalabili che siano anche facilmente applicabili in parallelo. In questo lavoro viene presentato un metodo recentemente sviluppato per costruire precondizionatori DDMs per problemi di punto sella e viene utilizzato per risolvere il sistema di cui sopra. I test numerici realizzati evidenziano che il metodo soffre di un evidente problema di scalabilità. Alcune idee vengono proposte con l'obiettivo di identificare l'origine di tale problema, ma dai risultati ottenuti non emerge nessuna evidenza che ci permetta di stabilirne con precisione la fonte. Da questo lavoro si conclude che ulteriori sviluppi sono necessari per ottenere un precondizionatore DDMs che sia ottimale e scalabile per un generico problema di punto sella.