Physics Informed Neural Networks for Solid Mechanics Problems

This thesis explores the application of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) to solve equations related to the mechanical deformation of various materials, including linear elasticity, neo-Hookean, Saint Venant-Kirchhoff, Mooney-Rivlin hyperelasticity, and von Mises plasticity with isotropic hardening. Unlike traditional deep learning-based surrogate models that rely on large training datasets and often require time-consuming discretization methods like the finite element method (FEM) to generate training data, PINNs integrate the physical laws directly into the neural network’s loss function by enforcing the satisfaction of partial differential equations (PDEs). This meshfree approach eliminates the need for defining node connectivity and generating meshes, avoiding issues related to element distortion or locking. Once trained, the PINN model can rapidly infer high-quality solutions at any point within the domain based on spatial coordinates. This is particularly advantageous for parametric problems, as PINNs treat parameters as additional input dimensions. Consequently, after the training, PINNs can provide near-instantaneous solutions for any new set of parameters, whereas FEM requires significant computational time for each new scenario.

Questa tesi esplora l’applicazione dei Physics Informed Neural Networks (PINNs) per risolvere equazioni differenziali relative alla deformazione meccanica di vari materiali, inclusi i casi di elasticità lineare, iperelasticità (neo-Hookean, Saint Venant-Kirchhoff, Mooney-Rivlin) e plasticità di von Mises. A differenza dei tradizionali modelli surrogati basati sul deep learning che si affidano a grandi dataset di addestramento e spesso richiedono metodi di discretizzazione dispendiosi in termini di tempo, come il metodo degli elementi finiti (FEM), per generare i dati necessari all’addestramento, i PINNs integrano direttamente le leggi fisiche nella funzione di perdita della rete neurale, imponendo la soddisfazione delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE). Questo approccio di tipo meshfree elimina la necessità di definire una griglia spaziale, evitando problemi legati alla distorsione degli elementi e di locking. Una volta addestrato, il modello PINN può inferire rapidamente soluzioni di alta qualità in qualsiasi punto del dominio. Questo è particolarmente vantaggioso per i problemi parametrizzati, poiché i PINNs trattano i parametri come dimensioni aggiuntive di input. Di conseguenza, dopo l’addestramento, i PINNs possono fornire soluzioni quasi istantanee per qualsiasi nuovo set di parametri, mentre il metodo degli elementi finiti richiede un tempo computazionale significativo per ogni nuovo scenario. Questa ricerca dimostra l’efficienza e l’accuratezza del metodo PINN applicato alla meccanica computazionale, evidenziando il suo potenziale in problemi ingegneristici.