Study of numerical methods for highly compressible flows with controlled diffusion

The following thesis work is part of an effort to minimize numerical diffusion introduced by numerical methods when it comes to solve hyperbolic system of equations. A particular focus is put on the Euler equations to describe the gas dynamics in a one dimensional framework. Godunov-type methods have proved to be very useful when dealing with high compressible flows where discontinuities such as shock wave or contact discontinuities can occur. However, the inherent numerical diffusion introduced by the averaging process is detrimental to the sharp capture of discontinuities. In this work, we resort to a Glimm's projection method (or Random Choice Method). Instead of relying on the exact solving of Riemann problems at cell interfaces, as it has been done in the literature, we attempt to make the method work with approximate Riemann solver's solution. Trials using existing approximate Riemann solvers is not fruitful and some properties are required. The solvers are meant to be positivity preserving as well as to exactly capture isolated discontinuities. In this regard, we first develop a family of solvers being positivity preserving which exactly capture isolated discontinuities of any nature satisfying the Rankine-Hugoniot jump relation. Then, those solvers are tested on stringent test cases to assess their accuracy and robustness. Finally, they are employed with the Glimm's projection method.

Il presente lavoro di tesi fa parte di un tentativo di minimizzare la diffusione numerica introdotta dai metodi numerici nella risoluzione di sistemi di equazioni iperboliche. Un'attenzione particolare è rivolta alle equazioni di Eulero per descrivere la dinamica dei gas in un contesto unidimensionale. I metodi di tipo Godunov si sono dimostrati molto utili nel trattare flussi altamente comprimibili, in cui possono verificarsi discontinuità come onde d'urto o discontinuità di contatto. Tuttavia, la diffusione numerica intrinseca introdotta dal processo di media è dannosa per la cattura precisa delle discontinuità. In questo lavoro, ricorriamo al metodo di proiezione di Glimm (o Metodo della Scelta Casuale). Invece di basarci sulla risoluzione esatta dei problemi di Riemann alle interfacce delle celle, come è stato fatto in letteratura, tentiamo di far funzionare il metodo con soluzioni approssimate di solver di Riemann. I tentativi con solver di Riemann approssimati esistenti non sono fruttuosi e sono richieste alcune proprietà. I solver devono preservare la positività e catturare esattamente le discontinuità isolate. A tal proposito, sviluppiamo innanzitutto una famiglia di solver che preservano la positività e che catturano esattamente discontinuità isolate di qualsiasi natura, soddisfacendo la relazione di salto di Rankine-Hugoniot. Successivamente, questi solver vengono testati su casi di prova rigorosi per valutarne la precisione e la robustezza. Infine, vengono utilizzati con il metodo di proiezione di Glimm.