Graph Neural Networks based AutoEncoder in Reduced Order Modeling of Dynamical Systems

In recent years, the need for efficient and accurate simulations of complex physical systems has become increasingly critical across various scientific and engineering disciplines. These simulations, often arising from the discretization of partial differential equations, are essential for understanding and optimizing processes in fields such as computational fluid dynamics, structural mechanics, and electromagnetism. However, the high computational cost of traditional numerical simulations poses significant challenges when considering applications that involve real-time predictions, uncertainty quantification, and optimization tasks. This work addresses this limitation by developing a novel reduced order modeling (ROM) framework that leverages the capabilities of graph neural networks (GNNs). This choice is motivated by the fact that traditional ROM techniques, while effective for certain linear and affine problems, struggle with complex geometries, nonlinearity, and parameterized domains where the geometry itself can change. GNNs, with their ability to process graph structured data and adapt to varying mesh sizes and topologies, present a promising solution to overcome these limitations. We introduce a GNN based autoencoder architecture that efficiently encodes the state of a dynamical system into a compact latent representation and accurately decodes it back to the original state space. This architecture is particularly well-suited for handling geometric variability, making it robust across different parametric configurations and diverse domains. The proposed framework is validated through numerical experiments on different test cases, including an advection diffusion problem and a Navier-Stokes flow past a cylinder located in distinct positions. The results demonstrate that the GNN based ROM significantly reduces computational complexity while maintaining high accuracy in predicting system dynamics, generalizing also across unseen geometric configurations. In conclusion, this work showcases the effectiveness of GNNs in extending the applicability of ROMs to a broader range of complex, nonlinear, and parameterized problems.

Negli ultimi anni, la necessità di simulazioni efficienti e accurate di sistemi fisici complessi è diventata cruciale in vari ambiti scientifici e ingegneristici. Queste simulazioni, spesso ottenute dalla discretizzazione numerica di equazioni a derivate parziali (PDEs), sono fondamentali per comprendere e ottimizzare processi in campi come la fluidodinamica computazionale, la meccanica strutturale e l'elettromagnetismo. Tuttavia, l'elevato costo computazionale delle simulazioni numeriche tradizionali presenta significativi problemi per applicazioni che richiedono previsioni in tempo reale, quantificazione dell'incertezza e task di ottimizzazione. Questo lavoro affronta tale limite sviluppando un nuovo framework di modellistica a ordine ridotto (ROM) che sfrutta le potenzialità delle reti neurali basate sui grafi (GNN). Questa scelta è motivata dal fatto che le tecniche ROM tradizionali, pur essendo efficaci in una vasta gamma di problemi, faticano ad affrontare geometrie complesse, non linearità e domini parametrizzati in cui la geometria stessa può variare. Le GNN, grazie alla loro capacità di elaborare dati strutturati a grafo e adattarsi a dimensioni e topologie di mesh diverse, offrono una soluzione promettente a queste problematiche. Presentiamo un'architettura autoencoder basata sulle GNN, in grado di codificare in modo efficiente lo stato di un sistema dinamico in una rappresentazione latente compatta, per poi decodificarlo accuratamente nello spazio di stato originale. Questa architettura è particolarmente adatta a gestire la variabilità geometrica, essendo robusta rispetto a diverse configurazioni parametriche e domini eterogenei. Il framework proposto è validato tramite esperimenti numerici su diversi casi di studio, tra cui un problema di diffusione e trasporto (AD) e un flusso di Navier-Stokes intorno a un cilindro posizionato in punti distinti. I risultati dimostrano che il ROM basato su GNN riduce significativamente la complessità computazionale, mantenendo un'elevata accuratezza nella previsione delle dinamiche del sistema e che il modello proposto può essere generalizzato anche a configurazioni geometriche non viste in fase di addestramento. In conclusione, questo lavoro dimostra l'efficacia delle GNN nell'estendere l'applicabilità dei ROM a una più ampia gamma di problemi complessi, non lineari e parametrizzati.