Open quantum systems and quantum trajectories

The study of open quantum systems, which are quantum systems that are able to interact with external environments, plays a crucial role in understanding real world quantum phenomena where systems can never be completely isolated. Of particular interest are quantum trajectories, which describe the evolution of quantum states under repeated measurements. In finite-dimensional Hilbert spaces, it has been established that quantum trajectories purify almost surely, except in cases of local unitary dynamics. This result was later extended to infinite-dimensional Hilbert spaces under the assumption of strong compactness for each Kraus operator. This thesis provides an introduction to the theory of open quantum systems and presents a counterexample that demonstrates the potential failure of the purification theorem when Kraus operators are not strongly compact, indicating that the theorem does not hold universally. We introduce a novel class of operators, termed "partial asymptotic isometries," which consists of bounded operators whose actions approximate that of an isometry on a family of subspaces. Within this framework, we formulate a new purification theorem for bounded operators. Additionally, we prove that the proportionality of Kraus operators to a partial asymptotic isometry is a necessary condition for a quantum trajectory to be asymptotically mixed.

Lo studio dei sistemi quantistici aperti, ovvero di sistemi quantistici in grado di interagire con l’ambiente esterno, svolge un ruolo cruciale nella comprensione dei fenomeni quantistici del mondo reale, in cui i sistemi non possono mai essere completamente isolati. Di particolare interesse sono le traiettorie quantistiche, che descrivono l’evoluzione degli stati quantistici sottoposti a misurazioni ripetute. Negli spazi di Hilbert di dimensione finita, è stato dimostrato che le traiettorie quantistiche si purificano quasi certamente a meno che la dinamica non sia localmente unitaria. Questo risultato è stato successivamente esteso agli spazi di Hilbert di dimensione infinita assumendo la forte compattezza di ogni operatore di Kraus. Questa tesi fornisce un’introduzione ai sistemi quantistici aperti e presenta un controesempio che dimostra il possibile fallimento del teorema di purificazione se gli operatori di Kraus non sono fortemente compatti, mostrando che non è universalmente valido. Introduciamo una nuova classe di operatori, chiamata "isometrie asintotiche parziali", che consiste di operatori limitati la cui azione approssima quella di una isometria su una famiglia di sottospazi. In questo contesto dimostriamo che è possibile formulare un nuovo teorema di purificazione per operatori limitati. Inoltre, dimostriamo che la proporzionalità degli operatori di Kraus ad un’isometria asintotica parziale è una condizione necessaria affinché una traiettoria quantistica sia asintoticamente mista.