Data-driven reduced-order modeling of nonlinear dynamical systems

The simulation of complex phenomena in science and engineering typically requires solving computationally expensive, high-dimensional, parameterized, nonlinear systems of partial differential equations (PDEs). To mitigate these challenges, reduced-order models (ROMs) have been developed to accelerate computations while maintaining a desired level of accuracy. However, many modern applications face situations where the governing equations are unknown or partially known, or access to full-order solvers is limited. This has led to the development of data-driven, reduced-order modeling techniques that construct models directly from snapshot data of the system states. Nevertheless, these ROMs often suffer from lack of interpretability and reliability due to the absence of incorporated physical insights. In this thesis, we develop methods for constructing ROMs for nonlinear, parameterized, dynamical systems in a data-driven manner while non-intrusively extracting and exploiting physical knowledge. This hybrid approach aims to retain the flexibility, adaptability, and generality of non-intrusive methods while ensuring the accuracy, extrapolation capability, and predictive power of physics-based methods. Our approach consists of two main strategies. On one hand, we learn reduced-order dynamical models by simultaneously discovering reduced-state variables and their dynamics. On the other hand, we employ multi-fidelity surrogate modeling techniques to leverage information from multiple datasets at different levels of accuracy and costs, thereby enhancing the performance of single-fidelity ROMs. The first strategy allows us to incorporate physics by non-intrusively retrieving the dynamical model governing the observed system, the second one addresses potential lack of physical consistency by integrating multiple datasets from physically meaningful data sources. This enhances the interpretability and reliability of the ROMs, enabling accurate parametric generalization and temporal forecasting. The common building block to all the proposed techniques is neural networks, whose flexibility allows for the potential integration of the two approaches into a unified framework, laying the foundation for a new generation of data-driven ROMs. Thanks to the versatility and generality of these methods, we derive efficient ROMs for nonlinear dynamical systems across a wide range of applications, including the dynamics of Micro Electro-Mechanical Systems (MEMS) in structural mechanics, the motion of unsteady flows in fluid dynamics, the propagation of electrical signals in computational biology, and more.

La simulazione di fenomeni complessi in ambito scientifico e ingegneristico richiede tipicamente la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP) non lineari, parametrizzati e ad alta dimensionalità, che sono computazionalmente costosi. Per mitigare queste difficoltà, sono stati sviluppati modelli di ordine ridotto (ROM) per accelerare i calcoli mantenendo un livello desiderato di accuratezza. Tuttavia, molte applicazioni moderne affrontano situazioni in cui le equazioni governative non sono note (o solo parzialmente), o l'accesso ai solver numerici è limitato. Ciò ha portato allo sviluppo di tecniche di modellazione a ordine ridotto basate sui dati, che costruiscono modelli direttamente dai snapshot degli stati del sistema. Tuttavia, questi ROM spesso mancano di interpretabilità e affidabilità siccome non incorporano alcuna nozione fisica del sistema di interesse. In questa tesi, sviluppiamo metodi per la costruzione di ROM per sistemi dinamici non lineari e parametrizzati in modo data-driven, estraendo e sfruttando non intrusivamente la conoscenza fisica. Questo approccio ibrido mira a mantenere la flessibilità, l'adattabilità e la generalità dei metodi non intrusivi, assicurando al contempo l'accuratezza, la capacità di estrapolazione e la potenza predittiva dei metodi basati sulla fisica. Il nostro approccio si compone di due strategie principali. Da un lato, apprendiamo modelli dinamici a ordine ridotto scoprendo simultaneamente le variabili di stato ridotte e la loro dinamica. Dall'altro, impieghiamo tecniche di modellazione surrogata a multi-fedeltà per sfruttare informazioni da più dataset a diversi livelli di accuratezza e costo, migliorando così le prestazioni dei ROM a singola fedeltà. La prima strategia ci permette di incorporare la fisica recuperando in modo non intrusivo il modello dinamico che governa il sistema osservato, mentre la seconda affronta la potenziale mancanza di coerenza fisica integrando più dataset provenienti da fonti di dati informative riguardo alla fisica del sistema. Ciò migliora l'interpretabilità e l'affidabilità dei ROM, consentendo una maggiore capacità di generalizzazione rispetto ai parametri e una migliore accuratezza nelle predizioni di scenari futuri. Il comune denominatore di tutte le tecniche proposte sono le reti neurali, la cui flessibilità consente l'integrazione potenziale delle due strategie in un unico framework, gettando le basi per una nuova generazione di ROM data-driven. Grazie alla versatilità e alla generalità di questi metodi, in questo lavoro deriviamo efficienti ROM per sistemi dinamici non lineari per una vasta gamma di applicazioni, tra cui la dinamica dei Sistemi Microelettromeccanici (MEMS) nella meccanica strutturale, il moto dei flussi instabili nella dinamica dei fluidi, la propagazione di segnali elettrici nella biologia computazionale e altro ancora.