On a semilinear parabolic equation on infinite graphs

The study of partial differential equations (PDEs) has garnered growing interest within the mathematical community, owing to the broad range of theoretical and practical applications across fields such as physics, biology, and social sciences. While the analysis of PDEs is well established in Euclidean and Riemannian settings, the extension of the theory to discrete structures like graphs represents a rapidly expanding field, offering new avenues for development. The aim of this thesis is to provide an original contribution to the study of PDEs on graphs, focusing on the analysis of a time-dependent semilinear parabolic equation defined on infinite weighted graphs. Building upon previous results obtained for semilinear parabolic equations in hyperbolic spaces, this work proposes an extension of these results to graphs with exponential growth, applying techniques developed for equations with nonlinear, time-independent source terms. Specifically, this work establishes new existence and non-existence results for solutions of a semilinear parabolic equation: it presents the global existence of a bounded solution for sufficiently small initial conditions, a global non-existence result, and a local existence result over finite time intervals. Finally, the results obtained allow for a deeper understanding of the emergence of the Fujita phenomenon on graphs.

Lo studio delle equazioni alle derivate parziali (EDP) ha suscitato un crescente interesse nella comunità matematica, grazie alla varietà di applicazioni teoriche e pratiche che coinvolgono molteplici ambiti, come la fisica, la biologia e le scienze sociali. Sebbene l'analisi delle EDP sia ben consolidata in contesti euclidei e riemanniani, l'estensione della teoria alle strutture discrete come i grafi rappresenta un campo in rapida espansione, offrendo nuove possibilità di sviluppo. L'obiettivo di questa tesi è di fornire un contributo originale allo studio delle EDP su grafi, concentrandosi sull'analisi di un'equazione parabolica semilineare con termine di sorgente dipendente dal tempo, definita su grafi pesati infiniti. Partendo da risultati precedenti ottenuti per equazioni paraboliche semilineari in spazi iperbolici, si propone un'estensione di tali risultati a grafi con crescita esponenziale, implementando tecniche sviluppate per equazioni con termine di sorgente nonlineare e tempo-indipendente. Nello specifico, questo lavoro dimostra nuovi risultati di esistenza e non esistenza per soluzioni di un'equazione parabolica semilineare: viene presentata l’esistenza globale di una soluzione limitata per condizioni iniziali sufficientemente piccole, un risultato di non esistenza globale e un risultato di esistenza locale su intervalli temporali finiti. Infine, i risultati ottenuti permettono di approfondire l’emergere del fenomeno di Fujita su grafi.