Non-divergence evolution operators modeled on Hörmander's vector fields with Dini continuous coefficients

In this thesis we are concerned with the construction of a fundamental solution for a class of second order ultraparabolic operators, as well as the proof of suitable Gaussian estimates for such fundamental solution and its derivatives. Specifically, we deal with operators of the form H = a_ij(x, t) X_i X_j - ∂/∂t (having used Einstein's convention on repeated indeces), where the X_i's are Hörmander's vector fields generating a Carnot group and A = (a_ij) is a symmetric and uniformly positive-definite matrix with bounded double Dini continuous entries. The originality of this work lies in the fact of broadening the family of operators for which the aforementioned results are shown, with respect to the actual state of the art. The existence of a fundamental solution for H and the relative Gaussian estimates are deduced through the implementation of Levi's parametrix method, with suitable modifications due to both the ultraparabolic nature of the considered operators and the weakening of the regularity assumption for the respective coefficients. As a consequence of this procedure, we also state and prove an existence result for the related Cauchy problem, under a Dini-type condition on the source.

L'obiettivo di questa tesi è quello di costruire una soluzione fondamentale per una classe di operatori del secondo ordine ultraparabolici e, in secondo luogo, di dimostrare la validità di opportune stime Gaussiane per tale soluzione fondamentale e per le sue derivate. In particolare, consideriamo operatori della forma H = a_ij(x, t) X_i X_j - ∂/∂t (avendo adottato la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti), dove gli X_i sono campi vettoriali di Hörmander generatori di un gruppo di Carnot e A = (a_ij) è una matrice simmetrica e uniformemente definita positiva con ingressi double Dini continui e limitati. L'innovazione introdotta da questa tesi consiste in un'estensione della famiglia di operatori per cui i risultati sopra citati vengono dimostrati, rispetto a ciò che è attualmente presente in letteratura. La dimostrazione di tali risultati è basata sul metodo della parametrice di Levi, con opportune modifiche dovute sia alla natura ultraparabolica degli operatori considerati, sia all'indebolimento dell'ipotesi di regolarità dei rispettivi coefficienti. Come applicazione di questa procedura, enunciamo e dimostriamo anche un risultato di esistenza per il problema di Cauchy associato a tali operatori, sotto condizioni di tipo Dini sulla forzante.