Optimal investment policies for a firm with a random risk process: exponential utility and probability of ruin

This thesis considers an insurance company that, in addition to the continuous income from policyholder premiums, must also manage potential payouts to clients claimed at certain random times by investing in a risky stock. This overall cash flow is represented as a stochastic process that can become negative. Consequently, there is a real risk that the company could go bankrupt, and the probability of this occurring is always positive. While the most common approach focuses on maximizing expected utility, this work aims at minimizing the probability of ruin within the context of stochastic control. The analysis is developed across different scenarios, starting from having no constraints on the amount to be invested to the introduction of a risk-free interest rate. As a starting point, the classic problem of maximizing terminal wealth is addressed. This analysis assumes the ability to borrow an unlimited amount of the risky stock without any interest rate. Then, the problem of minimizing the probability of ruin or, equivalently, maximizing the probability of survival is formalized, introducing the new theoretical context. This involves achieving a certain level of wealth before hitting a barrier, typically representing bankruptcy. It is demonstrated how in this unconstrained case the optimal amount to invest remains constant and exactly matches the amount obtained by maximizing terminal wealth over a finite time horizon using an exponential utility function. Then extensions of the framework are explored, such as the introduction of a penalty for ruin or a positive constant interest rate. Finally, a more in-depth analysis is developed for the latter case, extending the discussion to a time dependent interest rate. The resulting framework provides an original contribution to the thesis, making the model more realistic than those previously discussed.

Questa tesi considera una compagnia di assicurazioni che, oltre al reddito continuo derivante dai premi degli assicurati, deve anche gestire i potenziali pagamenti ai clienti richiesti in momenti randomici investendo in un risky stock. Questo flusso di cassa complessivo è rappresentato come un processo stocastico che può diventare negativo. Di conseguenza, esiste un rischio reale che la compagnia possa andare in bancarotta, e la probabilità che ciò accada è sempre positiva. Mentre l'approccio più comune si concentra sulla massimizzazione dell'utilità attesa, questo lavoro mira a minimizzare la probabilità di rovina nel contesto del controllo stocastico. L'analisi è sviluppata in diversi scenari, partendo dall'assenza di vincoli sulla quantità da investire fino all'introduzione di un tasso di interesse privo di rischio. Come primo approccio viene affrontato il classico problema della massimizzazione della ricchezza terminale data la funzione utilità della compagnia di tipo esponenziale. Questa analisi presuppone la possibilità di prendere in prestito una quantità illimitata del risky stock senza la presenza di alcun tasso di interesse. Successivamente, viene formalizzato il problema di minimizzare la probabilità di rovina o, in modo equivalente, massimizzare la probabilità di sopravvivenza, introducendo il nuovo contesto teorico. Questo implica quindi il raggiungimento di un certo livello di ricchezza prima di toccare una barriera, che tipicamente rappresenta la bancarotta. Viene dimostrato come, in questo caso senza vincoli, l'importo ottimale da investire rimanga costante e coincida esattamente con quello ottenuto massimizzando la ricchezza terminale su un orizzonte temporale finito utilizzando una funzione di utilità esponenziale. Successivamente, vengono esplorate estensioni del quadro teorico, come l'introduzione di una penalità da pagare in caso di rovina o un tasso di interesse costante positivo. Infine, viene sviluppata un'analisi più approfondita per quest'ultimo caso, estendendo la discussione a un tasso di interesse dipendente dal tempo. Il quadro risultante fornisce un contributo originale alla tesi, rendendo il modello più realistico rispetto a quelli precedentemente discussi.