Exploring the role of Hamiltonian expressibility in ansatz selection for variational quantum algorithms

Variational Quantum Algorithms (VQAs) offer a promising hybrid classical-quantum approach that leverages the limited capabilities of modern Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) devices. They use a parametric quantum circuit, or ansatz, whose parameters are optimized by classical algorithms aiming to minimize a cost function. A key example is the Variational Quantum Eigensolver (VQE), which seeks the ground state of a Hamiltonian operator by minimizing its expectation value on the output state of the circuit. Selecting an appropriate ansatz is critical to solve a given problem efficiently, and requires balancing conflicting factors such as computational resources, time, and solution accuracy. In this regard, the concept of expressibility has been proposed as a a metric to quantify a circuit ability to explore either the quantum state space (state expressibility) or the problem energy landscape (Hamiltonian expressibility) similarly to the Haar distribution. Such property should ideally grant a better probability of finding a high-quality solution. In our work, we conduct a detailed analysis of Hamiltonian expressibility by applying a Monte Carlo method to estimate such metric for a set of known circuits on 4 and 8-qubit problems. We explore the relationship between ansatz depth and expressibility, identify the most and least Hamiltonian-expressive circuits for different problem classes, and, most importantly, apply the VQE protocol to train each ansatz across all problems to detect any correlation between final solution accuracy and Hamiltonian expressibility or other related metrics. Our results suggest that, for small problems, these metrics can help to select the most suitable ansatz. Specifically, we find that Hamiltonian-expressive ansatzes perform better for problems with non-diagonal Hamiltonians or superposition state solutions, while less expressive circuits are more effective for problems with diagonal Hamiltonians or basis state solutions. However, for larger systems, these correlations weaken, likely due to barren plateaus, which have been linked to high expressibility, and limit trainability of VQAs.

Gli algoritmi quantistici variazionali (VQA) offrono un promettente approccio ibrido classico-quantistico che sfrutta le capacità limitate dei moderni dispositivi quantistici Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ). Questi algoritmi utilizzano un circuito quantistico parametrico, o ansatz, i cui parametri sono ottimizzati da algoritmi classici con l'obiettivo di minimizzare una funzione di costo. Un esempio chiave è il Variational Quantum Eigensolver (VQE), che cerca il ground state di un operatore Hamiltoniano minimizzando il suo valore atteso sullo stato prodotto dal circuito. La selezione di un ansatz appropriato è cruciale per risolvere un determinato problema in modo efficiente e richiede un bilanciamento tra fattori contrastanti come risorse computazionali, tempo e accuratezza della soluzione. In questo contesto, è stato proposto il concetto di expressibility come metrica per quantificare la capacità di un circuito di esplorare o lo spazio degli stati quantistici (state expressibility) o lo spazio di energie del problema (Hamiltonian expressibility), in modo simile alla distribuzione di Haar. Tale proprietà dovrebbe idealmente garantire una maggiore probabilità di trovare una buona soluzione. Nel nostro lavoro, conduciamo un'analisi dettagliata della Hamiltonian expressibility applicando un metodo Monte Carlo per stimarla su un insieme di circuiti noti per problemi con 4 e 8 qubit. Esploriamo la relazione tra la profondità dell'ansatz e expressibility, identifichiamo i circuiti più e meno Hamiltonian-espressivi per diverse classi di problemi e, cosa più importante, applichiamo il protocollo VQE per addestrare ogni ansatz su tutti i problemi al fine di rilevare eventuali correlazioni tra l'accuratezza della soluzione finale e la Hamiltonian expressibility o altre metriche ad essa correlate. I nostri risultati suggeriscono che, per problemi di piccole dimensioni, queste metriche possono aiutare a selezionare l'ansatz più adatto. In particolare, notiamo che gli ansatz con alta Hamiltonian expressibility performano meglio per problemi con Hamiltoniani non diagonali o soluzioni in stato di sovrapposizione, mentre i circuiti meno espressivi sono più efficaci per problemi con Hamiltoniani diagonali o soluzioni in stati della base computazionale. Tuttavia, per sistemi di dimensioni maggiori, queste correlazioni si indeboliscono, probabilmente a causa dei barren plateaus, che sono stati collegati ad alti valori di expressibility e limitano la capacità di addestramento dei VQA.