Effective models for quantum systems interacting with quasi-classical reservoirs

In this thesis we investigate the rigorous derivation of effective models for open quantum systems. We aim to describe the behaviour of an open system in a non-Markovian regime, avoiding a large time limit. The focus is on the phenomenon of decoherence of the system, i.e., the mechanism for the transition from quantum to classical behaviour in quantum systems coupled with a bosonic field, acting as a much larger environment. We study a regime where the field state contains a large number of excitations, and admits a semiclassical description, while the interaction with the system scales appropriately. We consider two paradigmatic models of open quantum systems: the spin-boson model and the Caldeira-Leggett model. The first problem we address is the derivation of the effective models from the fundamental quantum theory, both in the stationary and dynamical case. The stationary case is investigated for the Caldeira-Leggett model, and the convergence of ground state energy and minimizers is proven under suitable assumptions. We also derive the effective time evolution for both models, obtaining a transport equation of the small system driven by the state of the field. Decoherence is then investigated in the quasi-classical spin-boson model, in particular for three explicit families of states of the bosonic reservoir: a mixture of coherent states, a Bose-Einstein condensate and a high-temperature thermal equilibrium state. The energy-conserving case, where the spin system does not dissipate energy to the environment, is our benchmark to compare decoherence effects in the fully quantum and quasi-classical case. In the quasi-classical setting, only partial decoherence appears for the coherent state mixture and the Bose-Einstein condensate state, while the high-temperature equilibrium state exhibits the same asymptotic behaviour in both quantum and quasi-classical regimes. Next, we investigate the degree of Markovianity of the effective dynamics of the quasi-classical system. Numerical computations suggest that a singular infrared coupling with the reservoir favours Markovianity in the thermal equilibrium state, while a weak infrared coupling amplifies the frequency of oscillation between Markovian and non-Markovian behaviour in the other cases. Finally, we prove under suitable hypotheses the stability of the effective dynamics, which is a first-order perturbation of the free dynamics in the coupling strength at all times.

Questa tesi è dedicata allo studio della derivazione rigorosa di modelli effettivi per sistemi quantistici aperti. Il nostro obiettivo è descrivere il comportamento di un sistema aperto in un regime non markoviano, senza considerare un limite asintotico nella scala temporale. L' interesse in questo problema proviene dal fenomeno della decoerenza del sistema, cioè il meccanismo di transizione dal comportamento quantistico a quello classico nei sistemi quantistici accoppiati con un campo bosonico, che agisce come un ambiente esterno molto più grande. Studiamo un regime in cui lo stato del campo contiene un grande numero di eccitazioni e ammette una descrizione semiclassica e l'interazione con il sistema è scalata in modo appropriato. Consideriamo due modelli paradigmatici di sistemi quantistici aperti: il modello spin-boson e il modello di Caldeira-Leggett. Il primo problema che affrontiamo è la derivazione dei modelli effettivi partendo dalla descrizione puramente quantistica, sia nel caso stazionario che in quello dinamico. Il caso stazionario è studiato per il modello di Caldeira-Leggett; la convergenza dell'energia dello stato fondamentale e dei minimizzatori viene dimostrata in opportune ipotesi. Si ricava inoltre l'evoluzione temporale effettiva per entrambi i modelli, ottenendo un'equazione di evoluzione del sistema sotto l’effetto del campo bosonico. La decoerenza viene poi studiata nel modello quasi-classico spin-boson, in particolare per tre famiglie esplicite di stati dell’ambiente: una mistura di stati coerenti, un condensato di Bose-Einstein e uno stato di equilibrio termico nel regime di alta temperatura. Il caso in cui l’energia viene conservata, dove il sistema di spin non dissipa energia verso l'ambiente, è il nostro punto di riferimento per confrontare gli effetti di decoerenza nel caso completamente quantistico e quasi-classico. Nel caso quasi-classico, la decoerenza appare solo parzialmente per la mistura di stati coerenti e per il condensato di Bose-Einstein, mentre lo stato di equilibrio ad alta temperatura presenta lo stesso comportamento asintotico in entrambi i regimi, quantistico e quasi-classico. Successivamente, indaghiamo il grado di markovianità della dinamica effettiva del sistema quasi-classico. Simulazioni numeriche suggeriscono che un forte accoppiamento infrarosso con il campo favorisce la markovianità nello stato di equilibrio termico, mentre un accoppiamento infrarosso debole amplifica la frequenza di oscillazione tra comportamento markoviano e non markoviano negli altri due casi. Infine dimostriamo, sotto alcune ipotesi, che la stabilità della dinamica effettiva è una perturbazione del primo ordine della dinamica libera nella costante di interazione per ogni istante di tempo.