Spectral analysis and exponential ergodicity of certain quantum markov semigroups

The dynamics of open quantum systems interacting with external environments are crucial for understanding phenomena such as decoherence and thermalization. This dissertation investigates the spectral analysis and exponential ergodicity of quantum Markov semigroups, a mathematical framework central to modeling the time evolution of such systems. Quantum Markov semigroups generalize classical Markov processes to the quantum realm, offering a robust means of describing the continuous-time dynamics of quantum states under environmental influence. The primary focus of this thesis is the exponential ergodicity of quantum Markov semigroups, particularly in cases where a spectral gap exists. We explore the exponential convergence of normal states to equilibrium in the norm topology, which is not commonly considered. Our findings show that the spectral gap still determines the rate of exponential convergence in the norm topology for normal states in a dense subset. However, this behavior changes outside of this subset. Once exponential ergodicity, a highly desirable property in physical applications, is established, we apply it to study the asymptotic behavior of time-inhomogeneous Markovian evolutions. This includes analyzing scenarios where invariant states may be unique or non-unique, with implications for the annealing problem in quantum physics. Additionally, the study delves into the spectral analysis of Gaussian quantum Markov semigroups, characterized by their preservation of Gaussian states. We provide a detailed examination of the eigenvalues of the infinitesimal generator, which is crucial for understanding the long-term behavior of Gaussian quantum Markov semigroups.

Le dinamiche dei sistemi quantistici aperti che interagiscono con ambienti esterni sono fondamentali per comprendere fenomeni come la decoerenza e la termalizzazione. Questa dissertazione indaga l'analisi spettrale e l'ergodicità esponenziale dei semigruppi di quantistici Markoviani, un quadro matematico centrale per modellare l'evoluzione temporale di tali sistemi. I semigruppi quantistici Markoviani generalizzano i processi di Markov classici al contesto quantistico, offrendo un mezzo robusto per descrivere le dinamiche a tempo continuo degli stati quantistici sotto l'influenza ambientale. Il focus principale di questa tesi è l'ergodicità esponenziale dei semigruppi quantistici Markoviani, in particolare nei casi in cui esiste un gap spettrale. Esploriamo la convergenza esponenziale degli stati normali all'equilibrio nella topologia della norma, un aspetto non comunemente considerato. I nostri risultati dimostrano che il gap spettrale determina ancora il tasso di convergenza esponenziale nella topologia della norma per stati normali in un sottoinsieme denso. Tuttavia, al di fuori di questo sottoinsieme, il comportamento cambia. Una volta stabilita l'ergodicità esponenziale, una proprietà altamente desiderabile nelle applicazioni fisiche, la applichiamo per studiare il comportamento asintotico delle evoluzioni markoviane tempo-non-omogenee. Ciò include l'analisi di scenari in cui gli stati invarianti possono essere unici o non unici, con implicazioni per il problema del raffreddamento (annealing) nella fisica quantistica. Inoltre, lo studio approfondisce l'analisi spettrale dei semigruppi quantistici Markoviani gaussiani, caratterizzati dalla loro conservazione degli stati gaussiani. Forniamo un esame dettagliato degli autovalori del generatore infinitesimale, cruciale per comprendere il comportamento a lungo termine di tali semigruppi.