Hidden Markov models and volatility smile: local regime switching volatility in derivatives pricing

The aim of this work is to propose a suitable model that correctly determines equity derivatives prices, capturing the whole volatility smiles generated by implied volatilites of quoted vanilla options across different strikes for a selected maturity. For this reason, the adoption of a regime switching model has been considered in order to introduce a dynamics into the volatility, which falls into the wider realm of hidden Markov models. We assume that the volatility can reach a discrete set of states, whose transition intensities are ruled by a finite state continuous time Markov chain. An analytical formulation of the Jacobian matrix is proposed for a fast model calibration. Finally, the regime switching model is combined with a local volatility function as usually done for local stochastic volatility models, via resolution of the augmented Fokker-Planck equation. As additional frameworks, we investigate a term structure of time dependent model parameters and the case in which also the drift is affected by the regime switching.

L'obiettivo di questo lavoro è proporre un modello adeguato che determini correttamente i prezzi dei derivati azionari, riproducendo accuratamente l'intero smile di volatilità generato dalle volatilità implicite delle opzioni europee quotate su diversi strike per una data scadenza. Per questo motivo, è stata considerata l'adozione di un modello regime switching al fine di introdurre una dinamica nella volatilità, che rientra nell'ambito più ampio degli hidden Markov model. La volatilità può quindi cambiare valore saltando in un insieme discreto di stati, le cui intensità di transizione sono governate da una catena di Markov a tempo continuo. Viene proposta una formulazione analitica della matrice Jacobiana per una rapida e robusta calibrazione del modello. Infine, il modello regime switching viene unito ad una funzione di volatilità locale, come avviene di solito nei modelli a volatilità locale stocastica, mediante la risoluzione della versione estesa dell'equazione di Fokker-Planck. Come ulteriori estensioni, vengono esaminati una struttura a termine dei parametri del modello dipendenti dal tempo e il caso in cui anche il drift del sottostante sia influenzato dal regime switching.