Nonlinear system identification via Least Squares Shadowing

While the center manifold theory can be used to perform a model identification near bifurcations, it is of interest to develop a reliable data driven Model Order Reduction technique for hyperbolic solutions. Existing methods need multiple trajectories in order to characterise parametric dependence of the dynamics. The aim of this work is to present and validate a new technique for the reconstruction of a nonlinear system exploiting the shadowing lemma, which holds under hyperbolicity conditions. First, the forward and adjoint Least Squares Shadowing algorithms are implemented and tested. Secondly, assuming a polynomial form for the flow, a minimisation problem is formulated to obtain the coefficients of the reconstructed model. Lyapunov Exponents and Covariant Lyapunov Vectors are used to evaluate the hyperbolicity of the system being studied; results on the Lorenz and Rössler models are then presented. The developed method accurately reconstructs the Lorenz parameterised equations, using one trajectory of the original system and as many shadowing trajectories as the number of parameters of interest. Since physical models often depend on very few parameters, this method would allow to capture the dynamics without the need to perform multiple simulations.

Mentre la teoria della varietà centrale può essere utilizzata per ricostruire un sistema vicino alle sue biforcazioni, è di interesse lo sviluppo di un metodo per trattare soluzioni iperboliche. Le tecniche esistenti richiedono diverse traiettorie per caratterizzare la dipendenza del sistema rispetto ai suoi parametri. L'obiettivo di questo articolo è di presentare e validare l'utilizzo dello shadowing lemma, che vale sotto l'ipotesi iperbolica, per la ricostruzione di un sistema non lineare. Inizialmente, è stato sviluppato e testato il metodo del Least Squares Shadowing, nelle sue versioni diretta e aggiunta. Ipotizzando, poi, una forma polinomiale delle equazioni, si è formulato un problema di minimizzazione per ricavarne i coefficienti. Gli esponenti e i vettori covarianti di Lyapunov sono utilizzati per confermare l'iperbolicità delle soluzioni. Infine, si illustrano i risultati sui modelli di Lorenz e Rössler. Il metodo ricostruisce correttamente le equazioni di Lorenz, utilizzando solamente una traiettoria del sistema originale e tante traiettorie shadowing quanti sono i parametri. Molte applicazioni dei metodi di riduzione di sistemi dipendono da poche costanti. Di conseguenza, la tecnica presentata in questo articolo permette una riduzione delle simulazioni necessarie.