On the interest rate risk: modelling, calibration and impact assessment for a simplified insurance portfolio

This piece of work deals with the interest rate risk modelling in the insurance business. It compares the regulatory mandates to different stressing methodologies, measuring the implications these have on a simplified insurance portfolio. The impact assessment is carried out for some testing cases, that cover assets and liabilities portfolios characterized by different durations and biting scenarios (due to different duration gaps). The analyses performed blend economic intuition, linear algebra and statistical knowledge. They are based on a Python script, chosen over other languages for its versatility, assortment of libraries and for being free of charge. Chapter 1 sets the context and purpose of the analysis. It provides insights on the interest rates (IR) risk in the insurance sector, explaining the differences between the Standard Formula (SF) and the Internal Models; it points out the main limitation of the current SF IR Risk formulation, describing the step forward made by EIOPA’s alternative proposal, but its failure at capturing one upward annual change in zero rates already occurred (from 31.12.2021 to 31.12.2022). Chapter 2 provides the basis on the interest rates and derives the market zero yield curves by bootstrapping the historical traded swap par rates. It measures the historical movements in zero rates and outlines the advantages and limitations of three different stress models (absolute, relative displaced and relative), discarding the latter for its acknowledged limitations. The chapter also compares the adoption of different time series (annual non overlapping, annual overlapping, monthly non overlapping), discarding the former because of the few data points it offers and further exploring the other two under the lenses of a statistical analysis. Chapter 3 recalls the algebraical and economic background of the principal component analysis (PCA), adopted to reduce the dimension of the problem (from 50 nodes, tenors of the yield curve, to 3 principal components, referred to changes in level, slope and twist of the zero rates). The resulting eigenvectors and empirical distributions of the PCs are extensively discussed: albeit being characterized by different peculiarities in the pairs (dataset, stress methodology) the PCs show common traits such as PC2 being that most like a Normal distribution, PC1 being that with highest variance and PC3 being that with highest skewness and lowest variance. Chapter 4 carries out a fitting exercise of the historical first three PCs to allow for a replication of the actual values and to forecast farer tails. It establishes the best mathematical distributions that describe the empirical ones, discarding the annual overlapping dataset for its poorer goodness of fit and choosing T-3 for the absolute shock formulation and EGB2 for the log-relative displaced model. Several statistical analyses and visual inspections are performed to come to the choice (Log-Likelihood, Akaike and Bayesian Information Criterion, Kolmogorov Smirnov (KS) and Anderson Darling (AD) tests, Root Mean Squared Distance (RMSD) and Q-Q plots). Chapter 5 translates differences in stress calibrations into differences of capital charges, by performing an impact assessment on several test cases that cover different portfolios durations and duration gaps. The log-relative displaced model, whose PCs are fitted on EBG2 distributions, seems to be the most suitable stressing model, with results comparable to those of the internal models reported in EIOPA’s 22YE comparative study on market and credit risk modelling. The backtesting exercise confirms the capability of the model to replicate the stresses historically occurred, when valued in terms of capital charges.

Questa tesi affronta la modellizzazione del rischio di tasso di interesse nel settore assicurativo. Confronta i requisiti normativi con diverse metodologie di stress, misurando le implicazioni che queste hanno su un portafoglio assicurativo semplificato. La valutazione dell'impatto viene effettuata per alcuni casi prova, considerando portafogli di attivi e passivi caratterizzati da diverse durate finanziarie e soggetti a stress differenti (derivanti da diverse differenze di durata). Le analisi effettuate combinano intuizione economica, geometria analitica e conoscenze statistiche. Si basano su uno script Python, scelto rispetto ad altri linguaggi per la sua versatilità, l'assortimento di librerie e l'assenza di costi di licenza. Il Capitolo 1 definisce il contesto e lo scopo dell'analisi. Fornisce un approfondimento sul rischio di tasso di interesse (IR) nel settore assicurativo, spiegando le differenze tra la Formula Standard (SF) e i Modelli Interni; evidenzia il principale limite dell'attuale formulazione del rischio di IR della SF, descrivendo i progressi apportati dalla proposta alternativa dell'EIOPA, ma anche il suo fallimento nel catturare un incremento annuale dei tassi zero già avvenuto (dal 31.12.2021 al 31.12.2022). Il Capitolo 2 fornisce le basi sui tassi d'interesse e ricava le curve dei rendimenti zero del mercato attraverso il bootstrapping dei tassi par swap storici negoziati. Misura le variazioni storiche dei tassi zero ed evidenzia i vantaggi e le limitazioni di tre diversi modelli di stress (assoluto, relativo con displacement e relativo), scartando quest’ultimo per i suoi limiti riconosciuti. Il capitolo confronta inoltre l'adozione di diverse serie temporali (annuale non sovrapposta, annuale sovrapposta, mensile non sovrapposta), scartando la prima a causa del numero limitato di dati disponibili ed esplorando ulteriormente le altre due attraverso un’analisi statistica. Il Capitolo 3 richiama i fondamenti algebrici ed economici dell’analisi delle componenti principali (PCA), adottata per ridurre la dimensione del problema (da 50 nodi, ovvero le scadenze della curva dei tassi, a 3 componenti principali, che rappresentano i cambiamenti di livello, pendenza e torsione dei tassi zero). Gli autovettori risultanti e le distribuzioni empiriche delle PC vengono analizzati in dettaglio: pur presentando peculiarità differenti in base alla combinazione dataset-metodologia di stress, le PC mostrano caratteristiche comuni, come PC2 che risulta la più simile a una distribuzione Normale, PC1 che ha la varianza più alta e PC3 che presenta la maggiore asimmetria e la varianza minore. Il Capitolo 4 esegue un esercizio di fitting delle prime tre PC storiche per consentire la replica dei valori effettivi e la previsione delle code delle distribuzioni. Viene stabilita la miglior distribuzione matematica per descrivere quelle empiriche, scartando il dataset annuale sovrapposto per la sua minore bontà di adattamento e selezionando T-3 per la formulazione dello shock assoluto ed EGB2 per il modello log-relativo con displacement. La scelta è supportata da diverse analisi statistiche e ispezioni visive (Log-Verosomiglianza, Criterio informativo di Akaike e Bayesiano, test di Kolmogorov Smirnov (KS) e Anderson Darling (AD), distanza quadratica media e Q-Q plot). Il Capitolo 5 traduce le differenze nelle calibrazioni degli stress in differenze nei requisiti di capitale, eseguendo una valutazione d'impatto su diversi casi di test che coprono diverse durate e duration gap dei portafogli. Il modello log-relativo con displacement, le cui PC sono adattate alle distribuzioni EBG2, risulta il modello di stress più adatto, con risultati comparabili a quelli dei modelli interni riportati nello studio comparativo di EIOPA 22YE sulla modellizzazione del rischio di mercato e di credito. L'esercizio di backtesting conferma la capacità del modello di replicare gli stress storicamente verificatisi, quando valutati in termini di requisiti di capitale.