PI-GAROM: a physics-informed generative reduced model for small data frameworks

Deterministic data-driven Reduced Order Models (ROMs) have become a leading class of surrogate models for complex physical systems governed by parametrized partial differential equations (PDEs). Once trained during the offline phase, these models enable extremely fast online inference with a negligible accuracy loss compared to high-fidelity solvers. However, their performance is highly dependent on data availability, making them less effective in scenarios with limited data. Domain practitioners face this challenge in many applications, as the high computational cost of obtaining high-fidelity solutions restricts the number of collected snapshots. Additionally, while deterministic surrogates offer fast predictions for new input instances, they do not quantify predictive uncertainty, which is crucial for assessing the reliability of the results. Recently, Generative Models have been proposed as such surrogates, learning to generate realistic samples and provide useful statistical insights. However, they have not been investigated in small data regime yet. To address these challenges, we introduce a novel approach based on a Physics-Informed Generative Adversarial ROM (PI-GAROM). This novel probabilistic framework accounts for uncertainty during training and mitigates small-data limitations by incorporating the governing physical equations into the loss function. The effectiveness of PI-GAROM is demonstrated through a series of numerical experiments on diverse test cases, ranging from non-affinely parametrized advection-diffusion-reaction equations to complex nonlinear problems such as the Navier-Stokes equations for fluid dynamics.

Le tecniche di riduzione computazionale, o modelli di ordine ridotto (ROMs) basati su tecniche di deep learning (DL) e sui dati sono diventati una classe di modelli surrogati di riferimento per sistemi fisici complessi governati da problemi differenziali dipendenti da parametri. Una volta addestrati nella fase offline, questi modelli permettono un'inferenza estremamente rapida nella fase online, con una perdita di accuratezza trascurabile rispetto ai solutori ad alta fedeltà per ogni parametro di ingresso. Tuttavia, le loro prestazioni dipendono fortemente dalla disponibilità dei dati, rendendoli meno efficaci in scenari con dati limitati. I professionisti del settore affrontano questa sfida in molte applicazioni, poiché l'elevato costo computazionale necessario per ottenere soluzioni ad alta fedeltà limita il numero di snapshot raccolti. Inoltre, sebbene i surrogati deterministici offrano previsioni rapide per nuove istanze di input, essi non quantificano l'incertezza predittiva, un aspetto cruciale per valutare l'affidabilità dei risultati. Recentemente, i Modelli Generativi sono stati proposti come tali surrogati, imparando a generare campioni realistici e a fornire informazioni statistiche utili. Tuttavia, queste architetture non sono state studiate nel caso in cui i dati risultano limitati. Per affrontare queste sfide, introduciamo un nuovo approccio basato su un modello di ordine ridotto generativo avversario Physics Informed, denominato PI-GAROM (Physics-Informed Generative Adversarial Reduced Order Model). Questo framework probabilistico tiene conto dell’incertezza durante l’apprendimento e attenua le limitazioni dovute alla scarsità di dati, incorporando le leggi fisiche governanti direttamente nella funzione di perdita, aumentando l'accuratezza e l'affidabilità del modello. L'efficacia di PI-GAROM viene dimostrata attraverso una serie di esperimenti numerici su diversi casi test, che spaziano da equazioni di advezione-diffusione-reazione con parametrizzazioni non affini a problemi non lineari complessi, come le equazioni di Navier-Stokes per la fluidodinamica.